Rozważmy rozwinięcie wyrażenia \(\displaystyle{ (a+b+c+d)^{20}}\) .Podaj:
a) wartość współczynnika przy wyrazach \(\displaystyle{ a^{11}b^{6}c^{2}d}\) i \(\displaystyle{ a^{11}b^{9}}\)
b) liczbę wyrazów tego rozwinięcia;
c) sumę wszystkich współczynników
Pierwsze pytanie wiem jak zrobić z uogólnionego wzoru Newtona.
Odpowiedź na drugie pytanie to \(\displaystyle{ { 20+3 \choose 3}}\) i nie wiem skąd się to wzięło. Wzór podobny do wzoru na liczbę kombinacji z powtórzeniami k elementów sposród n rodzajów \(\displaystyle{ {k+n-1 \choose k}}\), ale nie wiem jak on ma się do tej sytuacji.
Trzeci podpunkt też wiem jak zrobić, tak więc problem mam tylko z drugim i proszę o pomoc
Rozwinięcie wyrażenia - wzór newtona
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Rozwinięcie wyrażenia - wzór newtona
b) Będzie bardziej sensownie, jeżeli od razu policzymy liczbę wyrazów rozwinięcia
\(\displaystyle{ (x_1+\dots+x_k)^n}\)
Te wyrazy będą postaci \(\displaystyle{ x_1^{n_1}\dots x_k^{n_k}}\), gdzie \(\displaystyle{ n_1, \dots n_k \in \NN}\) (łącznie z zerem) i \(\displaystyle{ n_1+n_2+\dots+n_k=n}\).
To, co naprawdę musimy więc policzyć, to liczba rozwiązań równania
\(\displaystyle{ n_1+n_2+\dots+n_k=n}\),
gdzie \(\displaystyle{ n_i \in \NN_0, n \in \NN^+}\).
A to jest stosunkowo znany problem, wynik to \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\). Dlaczego?
Narysujmy sobie w "sznureczku" \(\displaystyle{ n}\) punktów i zauważmy, że aby podzielić liczbę \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ k}\) nieujemnych składników, musimy między te punkty (no, nie do końca między; zapisujemy ogólnie \(\displaystyle{ \overbrace{1+\dots+1}^n=n}\) i wstawiamy nawiasy) wstawić \(\displaystyle{ k-1}\) przegródek. To teraz zróbmy taką sztuczkę, że dorysowujemy kolejnych \(\displaystyle{ k-1}\) punktów (łącznie mamy ich \(\displaystyle{ n+k-1}\)). Teraz w celu rozstawienia przegródek wybieramy \(\displaystyle{ k-1}\) spośród tych \(\displaystyle{ n+k-1}\) punktów i np. malujemy je na inny kolor, odtąd są one przegródkami, a nie liczymy ich w charakterze punktów. Można to zrobić na \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\)sposobów. U Ciebie jest \(\displaystyle{ n=20, k=4}\).
\(\displaystyle{ (x_1+\dots+x_k)^n}\)
Te wyrazy będą postaci \(\displaystyle{ x_1^{n_1}\dots x_k^{n_k}}\), gdzie \(\displaystyle{ n_1, \dots n_k \in \NN}\) (łącznie z zerem) i \(\displaystyle{ n_1+n_2+\dots+n_k=n}\).
To, co naprawdę musimy więc policzyć, to liczba rozwiązań równania
\(\displaystyle{ n_1+n_2+\dots+n_k=n}\),
gdzie \(\displaystyle{ n_i \in \NN_0, n \in \NN^+}\).
A to jest stosunkowo znany problem, wynik to \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\). Dlaczego?
Narysujmy sobie w "sznureczku" \(\displaystyle{ n}\) punktów i zauważmy, że aby podzielić liczbę \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ k}\) nieujemnych składników, musimy między te punkty (no, nie do końca między; zapisujemy ogólnie \(\displaystyle{ \overbrace{1+\dots+1}^n=n}\) i wstawiamy nawiasy) wstawić \(\displaystyle{ k-1}\) przegródek. To teraz zróbmy taką sztuczkę, że dorysowujemy kolejnych \(\displaystyle{ k-1}\) punktów (łącznie mamy ich \(\displaystyle{ n+k-1}\)). Teraz w celu rozstawienia przegródek wybieramy \(\displaystyle{ k-1}\) spośród tych \(\displaystyle{ n+k-1}\) punktów i np. malujemy je na inny kolor, odtąd są one przegródkami, a nie liczymy ich w charakterze punktów. Można to zrobić na \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\)sposobów. U Ciebie jest \(\displaystyle{ n=20, k=4}\).
-
qwertghjio
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 5 paź 2016, o 14:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: pzn
- Podziękował: 3 razy
Rozwinięcie wyrażenia - wzór newtona
a)
\(\displaystyle{ {20 \choose 11} \cdot {9 \choose 6} \cdot {3 \choose 2} \cdot 1}\)
Zauważ, że mamy w sumie 20 miejsc i musimy jedynie sprawdzić ile jest takich możliwych mnożeń, że otrzymamy to samo. Czyli np. : \(\displaystyle{ a^{2} \cdot b}\) dla \(\displaystyle{ (a+b)^{3}}\) , czyli \(\displaystyle{ {3 \choose 2} \cdot {1 \choose 1}}\) , bo mamy tyle możliwości: \(\displaystyle{ aab,baa,aba}\)
Może dodam, abyś nie pytał mnie dlaczego tak jest, bo sam tego nie ogarniam. Ale tak jest. Próbowałem to zrozumieć przez 45 lat ale mi się nie udało.
Ale taka wskazówka:
\(\displaystyle{ (a+b)^{3} = (a+b)(a+b)(a+b) = (aa + ab + ba + bb)(a+b) = (aaa + aba + baa + bba + aab + abb + bab + bbb)}\)
\(\displaystyle{ {20 \choose 11} \cdot {9 \choose 6} \cdot {3 \choose 2} \cdot 1}\)
Zauważ, że mamy w sumie 20 miejsc i musimy jedynie sprawdzić ile jest takich możliwych mnożeń, że otrzymamy to samo. Czyli np. : \(\displaystyle{ a^{2} \cdot b}\) dla \(\displaystyle{ (a+b)^{3}}\) , czyli \(\displaystyle{ {3 \choose 2} \cdot {1 \choose 1}}\) , bo mamy tyle możliwości: \(\displaystyle{ aab,baa,aba}\)
Może dodam, abyś nie pytał mnie dlaczego tak jest, bo sam tego nie ogarniam. Ale tak jest. Próbowałem to zrozumieć przez 45 lat ale mi się nie udało.
Ale taka wskazówka:
\(\displaystyle{ (a+b)^{3} = (a+b)(a+b)(a+b) = (aa + ab + ba + bb)(a+b) = (aaa + aba + baa + bba + aab + abb + bab + bbb)}\)