Wyznaczyć współczynnik

[MrCommando]

Wyznacz współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{400}}\) w iloczynie:

\(\displaystyle{ (x+1)(x^2+2)(x^4+4)(x^8+8)...(x^{2^i}+2^i)...(x^{256}+256)}\).

Prosiłbym najlepiej o wskazówkę/nakierowanie, a nie o gotowe rozwiązanie. Zależy mi, żeby się czegoś nauczyć.

[Premislav]

Wskazówka:
warto popatrzyć na wykładniki, jakie pojawiają się po wymnożeniu \(\displaystyle{ \prod_{i=0}^{8}\left( x^{2^i}+2^i\right)}\)
Liczbę \(\displaystyle{ 400}\) jako sumę różnych potęg dwójki możemy przedstawić w następujące sposoby:
\(\displaystyle{ 400=16+128+256}\)
i tylko w taki. Dlaczego? Otóż \(\displaystyle{ 2^{0}+2^{1}+\dots+2^{7}=2^{8}-1=255<400}\),
więc nie uzyskamy wykładnika \(\displaystyle{ 400}\), mnożąc jakiekolwiek jednomiany spośród pojawiających się w iloczynie o wykładniku mniejszym niż \(\displaystyle{ 256}\).
Czyli \(\displaystyle{ x^{256}}\) musi się tam przewijać. Ponadto liczby \(\displaystyle{ 144}\) w wykładniku nie uzyskamy bez użycia wykładnika \(\displaystyle{ 128}\), bo \(\displaystyle{ 2^0+2^1+\dots+2^6=2^7-1=127<144}\).
Analogicznie z szesnastką, \(\displaystyle{ 1+2+4+8<16}\).
Stąd przy \(\displaystyle{ x^{400}}\) stoi współczynnik...

Trochę na pałę.

[MrCommando]

O ile dobrze zrozumiałem, to z tego wynika, że \(\displaystyle{ a_{400}x^{400}=a_{16}x^{16}\cdot a_{128}x^{128}\cdot a_{256}x^{256}}\).

Można zauważyć, że \(\displaystyle{ a_{16}=1\cdot2\cdot4\cdot8\cdot32\cdot64\cdot128\cdot256=2^{32}}\) (iloczyn wszystkich potęg \(\displaystyle{ 2}\) od zerowej do ósmej, ale bez czwartej).
Analogicznie \(\displaystyle{ a_{128}=1\cdot2\cdot4\cdot8\cdot16\cdot32\cdot64\cdot256=2^{29}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{256}=1\cdot2\cdot4\cdot8\cdot16\cdot32\cdot64\cdot128=2^{28}}\).

Czyli mamy:
\(\displaystyle{ a_{400}=a_{16}\cdot a_{128}\cdot a_{256}=2^{89}}\).

[Premislav]

Niestety chyba źle mnie zrozumiałeś. Jakieś astronomiczne liczby się u Ciebie pojawiają.
Po wymnożeniu na pałę tych wszystkich czynników mamy sumę złożoną z \(\displaystyle{ 2^9=512}\) składników (bo jest dziewięć czynników, każdy jako suma dwóch składników), przy czym wyraz wolny jest równy \(\displaystyle{ 2^{0+1+\dots+8}=2^{36}}\)
Ogólnie na każdy wyraz tej sumy możemy spojrzeć tak:
mamy sobie zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8\right\}}\) - zbiór wykładników dwójki, jakie się przewijają w tych dwumianach postaci \(\displaystyle{ x^{2^i}+2^i}\)
Ta suma po wymnożeniu to jest
\(\displaystyle{ \sum_{I \subset A}^{}\left(\left( \prod_{k \in A \setminus I}^{}2^k \right) x^{\displaystyle{ \sum_{i \in I}^{}2^i }}\right)}\)
Nas interesuje taki \(\displaystyle{ I \subset \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8\right\}}\), że \(\displaystyle{ \sum_{i \in I}^{}2^i=400}\)
Uzasadniłem wyżej, że jedyny taki dobry \(\displaystyle{ I}\) to \(\displaystyle{ \left\{ 4,7,8\right\}}\), gdyż
\(\displaystyle{ 400=2^4+2^7+2^8}\) i musi być \(\displaystyle{ 8 \in I, 7 \in I, 4 \in I}\) (te nierówności).
Wobec tego współczynnik stojący przy \(\displaystyle{ x^{400}}\) to jest
\(\displaystyle{ \prod_{k \in \left\{ 0,1,2,3,5,6\right\} }^{}2^k=2^{0+1+2+3+5+6}=2^{17}}\)
bo \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8\right\}\setminus \left\{ 4,7,8\right\}=\left\{0,1,2,3,5,6\right\}}\)
Jak czegoś nie rozumiesz, to dalej pytaj, niestety nie umiem tłumaczyć, bo jestem "humanistą" (w tym pejoratywnym znaczeniu) i sam dobrze matmy nie rozumiem.

[MrCommando]

Teraz myślę, że zrozumiałem. Mój błąd polegał na tym, że ubzdurało mi się, że ten współczynnik jest równy \(\displaystyle{ \prod_{k \in I}2^k}\), a nie jak powinno być, czyli \(\displaystyle{ \prod_{k \in A \setminus I}2^k}\). Po kolejnym zastanowieniu się, już widzę, że faktycznie jest jak piszesz i po prostu trzeba usunąć te elementy zbioru \(\displaystyle{ A}\), które wykorzystaliśmy w wykładniku (dlatego, że w każdym z tych nawiasów wyraz wolny równy jest wykładnikowi przy \(\displaystyle{ x}\)). Dzięki