Wyznacz wzór jawny z rekurencyjnego

[ElCeis]

Hej,
Jak wyznaczyć wzór jawny z podanego wzoru rekurencyjnego:

\(\displaystyle{ F_n= \begin{cases} 1 \rightarrow n=1 \\ 1 \rightarrow n=2 \\ 1 \rightarrow n=3 \\ 2 \rightarrow n=4 \\ f(n-2)+f(n-3)+f(n-4) \rightarrow n \ge 5 \end{cases}}\)

PS. Nie wiem jak w tex zrobić "dla n=.." więc dałem te strzałki

[Premislav]

Można np. skorzystać z funkcji tworzących.
Niech \(\displaystyle{ G(x)= \sum_{n=1}^{ \infty }F_n x^n}\) - funkcja tworząca naszego ciągu \(\displaystyle{ (F_n).}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ G(x)=x+x^2+x^3+2x^4+ \sum_{n=5}^{ \infty }F_n x^n=\\=x+x^2+x^3+2x^4+ \sum_{n=5}^{ \infty }(F_{n-2}+F_{n-3}+F_{n-4})x^n=\\=x+x^2+x^3+2x^4+x^2 \sum_{n=5}^{ \infty }F_{n-2}x^{n-2}+x^3 \sum_{n=5}^{ \infty }F_{n-3}x^{n-3}+x^4 \sum_{n=5}^{ \infty }F_{n-4}x^{n-4}}\)
Teraz przesuwamy indeksy w tych sumach i mamy:
\(\displaystyle{ G(x)=x+x^2+x^3+2x^4+x^2(G(x)-x-x^2)+x^3(G(x)-x)+x^4 G(x)}\)
czyli po wyliczeniu z tego gie:
\(\displaystyle{ G(x)= \frac{x+x^2}{1-x^2-x^3-x^4}}\)
Teraz należy rozwinąć takie \(\displaystyle{ G(x)}\) w szereg potęgowy i wówczas wyrażenie przy \(\displaystyle{ x^n}\) to będzie nasze \(\displaystyle{ F_n}\).
Niestety trzeba to rozłożyć na ułamki proste, czego nie chce mi się robić.
A jesteś pewien, że dobrze to przepisałeś (treść zadania)? Ułamki nie będą ładne, a gdyby do tego podejść od strony równania charakterystycznego, to koniec końców musielibyśmy się siłować z tym samym obleśnym wielomianem...

-- 6 kwi 2017, o 23:11 --

Lolłem hardo:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=s

... %5E3-x%5E4-- 6 kwi 2017, o 23:35 --Kurka wodna... Miałem też taki pomysł, by do tej zależności dodać obustronnie \(\displaystyle{ F_{n-1}}\) i rozważać \(\displaystyle{ G_n=F_n+F_{n-1}}\), ale wtedy i tak w końcu dochodzimy do starcia z wielomianem typu \(\displaystyle{ x^3-x^2-1}\), a z tym nic nie umiem zrobić (można użyć wzorów Cardana, ale ja ich nie znam i uważam, że to trochę przegięcie stosować takie rzeczy).

[Mariusz M]

Wzór na \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}^n}{ \mbox{d}x^{n} } \frac{L\left( x\right) }{M\left( x\right) }}\)
łatwo podać gdy mamy rozkład na sumę zespolonych ułamków prostych
więc trzeba będzie rozwiązać równanie trzeciego stopnia

Premislav, jak nie widziałeś że można mianownik pogrupować to ułamek można skrócić
wykorzystując NWD wielomianów
Do policzenia NWD wielomianów nie musimy znać rozkładu tych wielomianów na czynniki
wystarczy brać reszty z kolejnych dzieleń

[Premislav]

mariuszm, ja wiem, że można pogrupować: \(\displaystyle{ 1-x^2-x^3-x^4=(1-x)(1+x)-x^3(1+x)}\) i tak dalej, ale i tak zostaje do rozwiązania równanie trzeciego stopnia, a takich rzeczy nie umiem liczyć (no, poza szczególnymi przypadkami typu "istnieje pierwiastek wymierny"). Wiem, że istnieją wzory Cardana, ale ja nie potrafiłem kilka lat temu zrozumieć dowodu, a to zbyt kopiaste, żeby się uczyć na pamięć (przynajmniej jak na mój gust).
Ale uwaga o NWD wielomianów i tak jest przydatna.

[Mariusz M]

Metoda funkcji symetrycznych


Niech

\(\displaystyle{ \begin{cases} \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+1=0 \\ \varepsilon_{1}\varepsilon_{2}=1 \end{cases}\\}\)

Mamy układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+\varepsilon_{1}x_{2}+\varepsilon_{2}x_{3}=u_{1} \\ x_{1}+\varepsilon_{2}x_{2}+\varepsilon_{1}x_{3}=u_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=-a_{2} \end{cases} \\
\left( z-u_{1}\right)\left( z-\varepsilon_{1}u_{1}\right)\left( z-\varepsilon_{2}u_{1}\right)\left( z-u_{2}\right)\left( z-\varepsilon_{1}u_{2}\right)\left( z-\varepsilon_{2}u_{2}\right)=0}\)

Współczynniki tego równania szóstego stopnia są funkcjami symetrycznymi
pierwiastków równania i mogą być wyrażone przez współczynniki równania trzeciego stopnia