Znajdź funkcję tworzącą ciągu:
\(\displaystyle{ a) a _{n} = \begin{cases} 2n, n=0,1...N \\ 0, n > N\end{cases}
b) a_{n} = (n+1) 2 ^{n}, n=0,1...}\)
Funkcje tworzące
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Funkcje tworzące
a)
\(\displaystyle{ G(x)= \sum_{n=0}^{N}2n x^n+ \sum_{n=N+1}^{ \infty }0 \cdot x^n=\\= \sum_{n=0}^{N}2n x^n=\sum_{n=1}^{N}2n x^n=2 \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{n}x^n=\\=2 \sum_{k=1}^{N} \sum_{n=k}^{N}x^n= 2\sum_{k=1}^{N}x^k \frac{x^{N-k+1}-1}{x-1}=\\= \frac{2Nx^{N+1}}{x-1}- \frac{2(x^{N+1}-x)}{(x-1)^2}}\)
Skorzystałem ze zmiany kolejności sumowania i wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego.
\(\displaystyle{ \sum_{n=k}^{N}x^n}\) to suma \(\displaystyle{ N-k+1}\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym \(\displaystyle{ x^k}\) i ilorazie równym \(\displaystyle{ x.}\)
Podobnie z \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{N}x^k}\)
b)
\(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^{ \infty }a_n x^n= \sum_{n=0}^{ \infty }n2^nx^n+ \sum_{n=0}^{ \infty } 2^n x^n= \sum_{n=1}^{ \infty }n2^nx^n+ \sum_{n=0}^{ \infty }(2x)^n=\\=x \sum_{n=1}^{ \infty }2n \cdot (2x)^{n-1}+ \frac{1}{1-2x}=x \left(\sum_{n=0}^{ \infty }(2x)^n\right)'+\frac{1}{1-2x}= \frac{2x}{(1-2x)^2}+\frac{1}{1-2x}}\)
Skorzystałem z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego (wewnątrz przedziału zbieżności możemy różniczkować wyraz po wyrazie szereg potęgowy, tj. ma miejsce jakby uogólnienie wzoru na pochodną sumy dla nieskończenie wielu składników - w ogólności nie zawsze jest to poprawne) i ze wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego. Te równości zachodzą gdy \(\displaystyle{ |2x|<1}\), tj. \(\displaystyle{ |x|<0,5}\) (żeby zbieżny był ten szereg geometryczny), ale to nas nie bardzo interesuje, wystarczy, że w pewnym otoczeniu zera zachodzi taka równość.
\(\displaystyle{ G(x)= \sum_{n=0}^{N}2n x^n+ \sum_{n=N+1}^{ \infty }0 \cdot x^n=\\= \sum_{n=0}^{N}2n x^n=\sum_{n=1}^{N}2n x^n=2 \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{n}x^n=\\=2 \sum_{k=1}^{N} \sum_{n=k}^{N}x^n= 2\sum_{k=1}^{N}x^k \frac{x^{N-k+1}-1}{x-1}=\\= \frac{2Nx^{N+1}}{x-1}- \frac{2(x^{N+1}-x)}{(x-1)^2}}\)
Skorzystałem ze zmiany kolejności sumowania i wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego.
\(\displaystyle{ \sum_{n=k}^{N}x^n}\) to suma \(\displaystyle{ N-k+1}\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym \(\displaystyle{ x^k}\) i ilorazie równym \(\displaystyle{ x.}\)
Podobnie z \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{N}x^k}\)
b)
\(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^{ \infty }a_n x^n= \sum_{n=0}^{ \infty }n2^nx^n+ \sum_{n=0}^{ \infty } 2^n x^n= \sum_{n=1}^{ \infty }n2^nx^n+ \sum_{n=0}^{ \infty }(2x)^n=\\=x \sum_{n=1}^{ \infty }2n \cdot (2x)^{n-1}+ \frac{1}{1-2x}=x \left(\sum_{n=0}^{ \infty }(2x)^n\right)'+\frac{1}{1-2x}= \frac{2x}{(1-2x)^2}+\frac{1}{1-2x}}\)
Skorzystałem z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego (wewnątrz przedziału zbieżności możemy różniczkować wyraz po wyrazie szereg potęgowy, tj. ma miejsce jakby uogólnienie wzoru na pochodną sumy dla nieskończenie wielu składników - w ogólności nie zawsze jest to poprawne) i ze wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego. Te równości zachodzą gdy \(\displaystyle{ |2x|<1}\), tj. \(\displaystyle{ |x|<0,5}\) (żeby zbieżny był ten szereg geometryczny), ale to nas nie bardzo interesuje, wystarczy, że w pewnym otoczeniu zera zachodzi taka równość.