Zwarta postać sumy.

[jakub1998]

Znajdź zwartą postać sumy:
\(\displaystyle{ \sum_{k}^{} {n \choose k} \frac{1}{k+1}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k}^{} {n \choose k} \frac{ \left( -1 \right) ^{k}}{k+1}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k}^{} {{n \choose k}}^{2}}\) rozbiłem to tak \(\displaystyle{ \sum_{k}^{} {{n \choose k}}{{n \choose k}}=2^{n} {n \choose k}}\)

O ile z takimi w stylu \(\displaystyle{ \sum_{k}^{} k {n \choose k}}\) nie mam problemu, bo liczę to pochodną, to z takimi powyżej nie wiem co zrobić. A co do trzeciego to pewnie taka postać nie wystarczy, jakieś pomysły inne?

+ coś jeszcze powiązanego z tym, dowód, że \(\displaystyle{ \left( \frac{n}{k} \right)^{k} \le {n \choose k} \ge \left( \frac{ne}{k} \right)^{k}}\)
Pierwszą nierówność po prostu zrobiłem rozpisaniem, że \(\displaystyle{ \frac{n \left( n-1 \right) \left( n-2 \right) .. \left( n- \left( k-1 \right) \right) }{k \left( k-1 \right) \left( k-2 \right) \left( k-3 \right) ..2 \cdot 1} \le \frac{n \cdot n \cdot n..}{k \cdot k \cdot k \cdot ..}}\) i biorąc oczywistą nierówność \(\displaystyle{ \left( \forall a,b \in \NN\right) \left( \left( a,b>2 \wedge a>b \right) \rightarrow \left( \frac{a}{b}> \frac{a-1}{b-1} \right) \right)}\) mogę ułamek po ułamku porównywać, natomiast nie mam pomysłu co do drugiej nierówności

[Premislav]

\(\displaystyle{ \sum_{k}^{} {n \choose k} \frac{1}{k+1}= \sum_{k}^{} {n \choose k} \int_{0}^{1}x^k \,\dd x= \int_{0}^{1}\left( \sum_{k}^{}{n \choose k}x^k \right) \,\dd x}\)

zwiń tę sumę (wzór dwumianowy) i po prostu scałkuj.-- 21 mar 2017, o 15:15 --Co do tego drugiego: chyba źle napisałeś tę ostatnią nierówność, bo nie działa bp. dla \(\displaystyle{ n=2,k=1}\).

[jakub1998]

Faktycznie, \(\displaystyle{ \left( \frac{n}{k} \right)^{k} \le {n \choose k} \le \left( \frac{ne}{k} \right)^{k}}\) + co z tym trzecim zwinięciem sumy?

[Premislav]

Skorzystałem z liniowości całki. Dalej po prostu
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^k 1^{n-k}=(x+1)^n}\)
ze wzoru dwumianowego Newtona, więc Twoja suma jest równa
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(1+x)^n \,\dd x}\)
Podstawienie \(\displaystyle{ t=1+x}\) (zmień granice całkowania) i łatwo wychodzi (albo oblicz w pamięci).

Nierówność: nie umiem tego ładnie udowodnić. Mój sposób:
\(\displaystyle{ {n \choose k} \le \left( \frac{ne}{k} \right)^{k}\\ \\ \frac{k^k}{n^k}{n \choose k} \le e^k\\ \frac{k^k}{n^k} \frac{n!}{k!(n-k)!} \le e^k\\ \frac{k^k}{k!} \prod_{l=1}^{k} \left( \frac{n-l+1}{n} \right) \le e^k\\\left( *\right) \left( \frac k e\right)^k \prod_{l=1}^{k} \left( \frac{n-l+1}{n} \right) \le k!}\)
Wszystkie przekształcenia były równoważne. Teraz odnotujmy, że
1) \(\displaystyle{ \prod_{l=1}^{k} \left( \frac{n-l+1}{n} \right) \le 1}\) - jest to oczywiste, bo żaden czynnik nie przekracza \(\displaystyle{ 1}\) (i wszystkie są dodatnie, bo naturalnie \(\displaystyle{ n\ge k}\)).
2) \(\displaystyle{ \left( \frac k e\right)^k \le k!}\) - jest to znany fakt, który można udowodnić indukcyjnie (może miałeś na zajeciach, jak nie, to spróbuj samodzielnie).
Mnożąc stronami 1) i 2), otrzymujemy nierówność \(\displaystyle{ (*)}\), która jest równoważna tezie,
c.k.d.

[jakub1998]

Tą całkę dokończyłem, chodziło mi raczej o \(\displaystyle{ \sum_{k}^{} {{n \choose k}}^{2}}\)