W jaki sposób zabrać się do udowodnienia, że dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \left \lfloor{ \frac{k}{2} }\right \rfloor = \left \lfloor{ \frac{n^2}{4} }\right \rfloor}\)?
Nie wiem, czy nie prościej jest zauważyć, że \(\displaystyle{ \left[ \frac{k}{2} \right]= \begin{cases} \frac{k}{2} \text{ gdy } 2|k \\ \frac{k-1}{2} \text{ gdy } 2\nmid k \end{cases}}\), zatem gdy \(\displaystyle{ n=2m}\) dla pewnego \(\displaystyle{ m \in \NN}\), to \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left[ \frac{k}{2} \right]= \sum_{k=1}^{m}k + \sum_{k=1}^{m}(k-1)= \frac{m(m+1)}{2}+ \frac{m(m-1)}{2}=m^2=\\=\left[ \frac{(2m)^2}{4} \right] =\left[ \frac{(n)^2}{4} \right]}\)
zaś gdy \(\displaystyle{ n=2m+1}\), to \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left[ \frac{k}{2} \right]= \sum_{k=1}^{m}k + \sum_{k=1}^{m+1}(k-1)=m(m+1)= \frac{4m^2+4m}{4}=\\= \frac{(2m+1)^2-1}{4}=\left[ \frac{(2m+1)^2}{4} \right] =\left[ \frac{n^2}{4} \right]}\)
Ponieważ spora część studentów widzi pierwszy raz zapis z sigmą przy nauce szeregów, więc potem myślą oni, że wszędzie tam, gdzie się pojawia znak \(\displaystyle{ \sum_{}^{}}\), mają do czynienia z szeregiem.
Czemu tutaj pod znakiem sumy pojawia się samo \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ k-1}\)? Chodzi konkretnie o ten fragment: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left[ \frac{k}{2} \right]= \sum_{k=1}^{m}k + \sum_{k=1}^{m}(k-1) = \ldots}\)
Oraz czy przed znakami sumy po pierwszej równości nie powinno być wyłączone \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)?
Tam rozważam przypadek \(\displaystyle{ n=2m}\). Rozbijam na sumę po indeksach parzystych i po indeksach nieparzystych: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2m}\left[ \frac{k}{2} \right]= \sum_{1 \le k \le 2m: 2|k}^{}\left[ \frac{k}{2} \right]+\sum_{1 \le k \le 2m: 2\nmid k}^{}\left[ \frac{k}{2} \right]=\\=\left(\left[ \frac{2}{2} \right]+\left[ \frac{4}{2}\right] +\dots+\left[ \frac{2m}{2} \right] \right)+\left(\left[ \frac{1}{2} \right]+\left[ \frac{3}{2} \right]+\dots+\left[ \frac{2m-1}{2} \right] \right)}\)
i zauważam, że gdy \(\displaystyle{ k}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ \left[ \frac{k}{2} \right] =\left[ \frac{k-1}{2} \right]}\).
Stąd \(\displaystyle{ \left(\left[ \frac{1}{2} \right]+\left[ \frac{3}{2} \right]+\dots+\left[ \frac{2m-1}{2} \right] \right)=\left(\left[ \frac{0}{2} \right]+\left[ \frac{2}{2} \right]+\dots+\left[ \frac{2m-2}{2} \right] \right)}\)
i cała suma: \(\displaystyle{ \left(\left[ \frac{2}{2} \right]+\left[ \frac{4}{2}\right] +\dots+\left[ \frac{2m}{2} \right] \right)+\left(\left[ \frac{1}{2} \right]+\left[ \frac{3}{2} \right]+\dots+\left[ \frac{2m-1}{2} \right] \right)= \\=\sum_{k=1}^{m}k+ \sum_{k=1}^{m}(k-1)}\),
bo oczywiście dla \(\displaystyle{ l \in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ \left[ \frac{2l}{2} \right]=l}\)
Rzecz jasna, na swój użytek tego tak nie rozpisywałem, jedynie chciałem to w miarę klarownie wytłumaczyć.
-- 14 mar 2017, o 18:07 --
Aha, nie zauważyłem drugiego pytania. Możesz zacytować fragment, do którego się odnosisz? Nie widzę, gdzie tu by miała być jakaś \(\displaystyle{ \frac 1 2.}\) Być może niepotrzebnie użyłem dwa razy do indeksowania \(\displaystyle{ k}\) i przez to miałeś wrażenie, że to jest dokładnie to \(\displaystyle{ k}\), co wcześniej. To nie jest konflikt oznaczeń, ale mogło to zbijać z tropu.
