Możliwe kombinacje

[Jmoriarty]

Witam, chciałbym zapytać o sposób obliczenia ilości wszystkich możliwych kombinacji danego kodu. Na przykład kod 4-cyfrowy i mogą tam być cyfry..np. od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 6}\) włącznie ( a tak z ciekawości to "1-6 włącznie" to jest to samo co "\(\displaystyle{ C \in \left\langle1,6\right\rangle}\)"?)
Wiem że np. ilość kombinacji kodu 4-cyfrowego z 4 różnymi cyframi bez powtórzeń to 4! ale jak z kodami z powtórzeniami? Może być przykładowo "1166", "3333" itd. Po prostu chodzi mi o wszystkie kombinacje jakie są możliwe dla takiego kodu 4-cyfrowego z tych 6 cyfr.

[Poszukujaca]

Wydaje mi się, że mylisz pojęcia. Mówisz o kombinacjach w przypadku kodu utworzonego z cyfr. W kodzie zawsze istotna jest kolejność, a pojęcie "kombinacja" odnosi się do podzbiorów, gdzie kolejność nie jest ważna.

[Jmoriarty]

Pisząc "kod" miałem na myśli dowolny ciąg cyfr, a kombinacje może pomyliłem z wariacją(?) ale chyba nie trudno się domyślić o co chodzi

[Poszukujaca]

Tak, te ciągi to będą wariacje. Jeśli cyfry mogą się powtarzać, to będą to wariacje z powtórzeniami, a jeśli nie - to bez powtórzeń. Są wzory na liczbę takich wariacji.

Przyjmujemy, że \(\displaystyle{ k}\) - to ilość wyrazów wariacji (wyrazów ciągu), a \(\displaystyle{ n}\) to ilość elementów zbioru, z którego wybieramy te wyrazy. Wtedy liczbę takich wariacji określamy wzorami:
1) bez powtórzeń: \(\displaystyle{ w_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!}}\)
2) z powtórzeniami: \(\displaystyle{ v_{n}^{k}=n^{k}}\)
W przypadku, gdy mamy ciąg 4-cyfrowy i 6 cyfr do wyboru to tworzymy wariacje 4- elementowe zbioru 6-elementowego.

[Jmoriarty]

Dziękuję bardzo, teraz wszystko jest jasne

[Poszukujaca]

Dopowiem jeszcze, że wspomniałeś również o sytuacji, kiedy mamy do czynienia z pojęciem "permutacji". Jeśli \(\displaystyle{ n=k}\) czyli tworzymy ciągi ze wszystkich elementów danego zbioru i każdy z tych elementów wykorzystujemy jeden raz, to mówimy o permutacjach. Wtedy liczbę takich permutacji określamy wzorem \(\displaystyle{ p_{n}=n!}\).

Zgadza się to z tym, co napisałeś wyżej (kod 4-cyfrowy z 4 różnymi cyframi).

[Jmoriarty]

A to po prostu nie będzie wzór, który wcześniej podałaś?
Chodzi mi o ten \(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-k)!}}\)
Bo jeśli \(\displaystyle{ n=k}\) to będzie po prostu \(\displaystyle{ \frac{n!}{1}}\) czyli \(\displaystyle{ n!}\) tak jak napisalas

I prosiłbym czy mogłabyś odpowiedzieć jeszcze na to co w nawiasie

[Poszukujaca]

Jmoriarty, tak. Zgadza się. Bardzo słuszne spostrzeżenie.

[Jmoriarty]

To jak w koncu z tym "a tak z ciekawości to 1-6 włącznie to jest to samo co \(\displaystyle{ C \in \left\langle 1,6\right\rangle}\)?"

[Jan Kraszewski]

To jak w koncu z tym "a tak z ciekawości to 1-6 włącznie to jest to samo co \(\displaystyle{ C \in \left\langle 1,6\right\rangle}\)?"

Zdecydowani nie. Symbol \(\displaystyle{ \left\langle 1,6\right\rangle}\) oznacza cały przedział od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 6}\), a nie tylko liczby naturalne z tego przedziału.

JK

[Jmoriarty]

Właśnie tak samo myślałem dlatego dodałem te C jako całkowite, ale widocznie źle. To jak jest poprawnie? (używając przedziałów)
I chciałem jeszcze zapytać czemu została poprawiona moja wiadomość bo nie pamiętam co źle napisałem

[Jan Kraszewski]

Właśnie tak samo myślałem dlatego dodałem te C jako całkowite, ale widocznie źle.

Źle.

To jak jest poprawnie? (używając przedziałów)

\(\displaystyle{ \left\langle 1,6\right\rangle\cap C}\) (choć matematyk napisałby \(\displaystyle{ [1,6]\cap \ZZ}\)...).

I chciałem jeszcze zapytać czemu została poprawiona moja wiadomość bo nie pamiętam co źle napisałem

Tagowałeś tagami [tex][/tex] po kawałku, zamiast całe wyrażenie matematyczne otagować pojedynczymi tagami.

JK

[Jmoriarty]

A mogłoby być \(\displaystyle{ \left\langle 1,6 \right\rangle \in C}\) ?

[Jan Kraszewski]

No skąd, przecież to nie ma sensu - napisałeś, że przedział liczbowy jest liczbą całkowitą.

Zasady używania symboli są w matematyce ściśle określone, nie można ich sobie dowolnie przestawiać.

JK

[Jmoriarty]

Pomyślałem w takim sensie, że to będzie oznaczać że przedział należy do liczb całkowitych/jest ich elementem, ale już chyba rozumiem, bo to będzie oznaczało że cały przedział należy do tych liczb, czyli faktycznie bez sensu.
Dziękuję za odpowiedź.