Witam! Mam problem z takim zadaniem:
Rozwiąż schemat rekurencyjny
\(\displaystyle{ a _{n+2} - 4a _{n+1} + 3 a _{n} = -200}\)
\(\displaystyle{ a _{0} = 3000, a _{1} = 3300}\)
metodą rozkładu na równanie jednorodne i niejednorodne.
Rozwiązać schemat rekurencujny
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Rozwiązać schemat rekurencujny
To bardzo standardowe zadanie. Równanie jednorodne:
\(\displaystyle{ a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n=0}\)
Jego równanie charakterystyczne wygląda więc tak:
\(\displaystyle{ r^2-4r+3=0 \Leftrightarrow (r-1)(r-3)=0}\)
Stąd widać, że rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać
\(\displaystyle{ C_1 \cdot 1^n+C_2\cdot 3^n}\)
Następnie przewidujesz rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego
\(\displaystyle{ a _{n+2} - 4a _{n+1} + 3 a _{n} = -200}\)
w postaci \(\displaystyle{ a\cdot n+b}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b \in \RR}\)
Podstawiając do równania:
\(\displaystyle{ a \cdot (n+2)+b-4(a \cdot (n+1)+b)+3(a \cdot n+b)=-200\\-2a=-200\\a=100}\)
Zaś jak widać, \(\displaystyle{ b}\) może być dowolne, niechaj więc \(\displaystyle{ b=0}\).
Czyli rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego jest postaci \(\displaystyle{ 100n}\)
i rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego ma wobec tego postać
\(\displaystyle{ a_n=C_1+C_2 \cdot 3^n+100n}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ n=0, n=1}\) kolejno i korzystając z warunków początkowych \(\displaystyle{ a _{0} = 3000, a _{1} = 3300}\), dostajesz układ równań na stałe \(\displaystyle{ C_1, C_2}\) - pozostawiam Ci ułożenie i rozwiązanie go.
\(\displaystyle{ a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n=0}\)
Jego równanie charakterystyczne wygląda więc tak:
\(\displaystyle{ r^2-4r+3=0 \Leftrightarrow (r-1)(r-3)=0}\)
Stąd widać, że rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać
\(\displaystyle{ C_1 \cdot 1^n+C_2\cdot 3^n}\)
Następnie przewidujesz rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego
\(\displaystyle{ a _{n+2} - 4a _{n+1} + 3 a _{n} = -200}\)
w postaci \(\displaystyle{ a\cdot n+b}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b \in \RR}\)
Podstawiając do równania:
\(\displaystyle{ a \cdot (n+2)+b-4(a \cdot (n+1)+b)+3(a \cdot n+b)=-200\\-2a=-200\\a=100}\)
Zaś jak widać, \(\displaystyle{ b}\) może być dowolne, niechaj więc \(\displaystyle{ b=0}\).
Czyli rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego jest postaci \(\displaystyle{ 100n}\)
i rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego ma wobec tego postać
\(\displaystyle{ a_n=C_1+C_2 \cdot 3^n+100n}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ n=0, n=1}\) kolejno i korzystając z warunków początkowych \(\displaystyle{ a _{0} = 3000, a _{1} = 3300}\), dostajesz układ równań na stałe \(\displaystyle{ C_1, C_2}\) - pozostawiam Ci ułożenie i rozwiązanie go.
-
tajnosagentos
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ziemia
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 2 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Rozwiązać schemat rekurencujny
...tworzących. Co kto lubi. Faktem jest, że metoda przewidywań jest czasem nieintuicyjna (zależy od tego, kto jaką ma intuicję - moja jest słaba) i trzeba więcej pamiętać, żeby ją stosować.-- 20 lut 2017, o 16:41 --W każdym razie akurat taki przykład idzie z funkcji tworzących natychmiastowo, ale ogólnie jest on łatwy (a to, co napisała Gera, wskazuje na wymóg zastosowania użytej przeze mnie metody). Słabością metody funkcji tworzących jest to, że czasami naprawdę niesamowity syf powstaje przy ewentualnym rozkładzie na ułamki proste, niemniej jednak jest ona o wiele bardziej uniwersalna niż równanie charakterystyczne+metoda przewidywania.