Rekurencja niejednorodna liniowa - metoda przewidywań

[piotr4]

Witam, mam problem z rozwiązaniem tego zadania:

\(\displaystyle{ S _{n+1} = 8 _{n} - 16 _{Sn-1} + 4 * 3 ^{n+1}}\)

Wyszło mi że RORJ: \(\displaystyle{ S ^{n} = (C _{1} *n + C _{2} ) (4) ^{n}}\)

Nie potrafię przejść do kroku dalej, czyli jak znaleźć szczególne rozwiązanie.

Nie wiem czy dobrze myślę, ale z wzoru \(\displaystyle{ f(n) = P(n)q ^{n}}\) wypisałem sobie że moje \(\displaystyle{ P(n) = 1, q = 3, k=0}\), i nie wiem jak to ugryźć dalej.

[Premislav]

Rozumiem, że miało być: \(\displaystyle{ S_{n+1}=8S_n-16S_{n-1}+4\cdot 3^{n+1}}\)
Jeżeli tak, to Twoje rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest poprawne.

Dalej przewidujesz rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego
\(\displaystyle{ f(n)=A \cdot 3^n}\)
dla pewnej stałej \(\displaystyle{ A}\), którą wyliczasz, wstawiając na pałę do równania niejednorodnego i uzgadniając wartość \(\displaystyle{ A}\) tak, żeby zachodziła równość. Czyli:
\(\displaystyle{ A \cdot 3^{n+1}=8\cdot A \cdot 3^{n}-16\cdot A \cdot 3^{n-1}+4\cdot 3^{n+1} \bigg|\bigg| :3^{n-1}\\ 9A=24A-16A+36\\A=36}\)

Zatem rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego to:
\(\displaystyle{ S_n=C_1 n4^n+C_2 4^n+36 \cdot 3^{n+1}}\)

[kinia7]

\(\displaystyle{ f(n)=A \cdot 3^n}\)
...
\(\displaystyle{ A=36}\)

Zatem rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego to:
\(\displaystyle{ S_n=C_1 n4^n+C_2 4^n+36 \cdot 3^{n+1}}\)

Skąd wykładnik \(\displaystyle{ n+1\ ?}\)

[Premislav]

Z mojego debilizmu, powinno być \(\displaystyle{ n}\). Dziękuję za zwrócenie uwagi. Czyli rozwiązanie ogólne:
\(\displaystyle{ S_n=C_1 n 4^n+C_2 4^n+36\cdot 3^n}\)