Koperty, prawdopodobieństwo warunkowe

[morrigan24]

W trzech jednakowych kopertach znajdują się jednakowej wielkości karteczki, na każdej z nich zapisano jedną liczbę naturalną ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,...,50\right\}}\). W pierwszej kopercie znajdują się karteczki z liczbami parzystymi \(\displaystyle{ \le 30}\), w drugiej kopercie z nieparzystymi \(\displaystyle{ \le 30}\), w trzeciej z wszystkimi pozostałymi. Uczeń wybrał kopertę, a następnie wylosował z niej kartkę z liczbą. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

a) na wybranej kartce znajdowała się liczba pierwsza,
b) uczeń losował z drugiej koperty, jeśli wiadomo, że wylosował liczbę złożoną,
c) uczeń losował z trzeciej koperty, jeśli wiadomo, że wylosował liczbę parzystą.

[kerajs]

Pierwsza koperta zawiera 15 liczb: \(\displaystyle{ 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30}\) z których pierwszą jest tylko \(\displaystyle{ 2}\)
Druga koperta zawiera 15 liczb: \(\displaystyle{ 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29}\) z których pierwszymi są: \(\displaystyle{ 3,5,7,11,13,17,19,23,29}\)
Trzecia koperta zawiera 20 liczb od 31 do 50. Tu pierwsze to: \(\displaystyle{ 31,37,41,43,47}\)

\(\displaystyle{ P(a)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{15}+ \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{15}+ \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{20}}\)

\(\displaystyle{ P(b)= \frac{ \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{15}}{ \frac{1}{3} \cdot \frac{14}{15}+ \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{15}+ \frac{1}{3} \cdot \frac{15}{20}}}\)

\(\displaystyle{ P(c)= \frac{ \frac{1}{3} \cdot \frac{10}{15}}{ \frac{1}{3} \cdot \frac{0}{15}+ \frac{1}{3} \cdot \frac{15}{15}+ \frac{1}{3} \cdot \frac{10}{20}}}\)