Znajdź ciąg, którego funkcją tworzącą jest.

[favorite01997]

Witam!
Proszę o ocenienie czy moje rozwiązanie jest poprawne.
Polecenie brzmi: Znajdź ciąg, którego funkcją tworzącą jest:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{14}{6-10x-4x ^{2} }}\)

Najpierw liczę deltę i rozkładam mianownik i otrzymuję:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{14}{6-10x-4x ^{2} }= \frac{7}{3-5x-2x ^{2} }= \frac{7}{-2x ^{2}-5x+3 }= \frac{7}{\left( -2x+1\right)\left( x+3\right) }}\)

Teraz rozkład na ułamki proste:

\(\displaystyle{ \frac{7}{\left( -2x+1\right)\left( x+3\right)}= \frac{A}{-2x+1}+ \frac{B}{x+3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{7}{\left( -2x+1\right)\left( x+3\right)}= \frac{2}{-2x+1}+ \frac{1}{x+3}}\)

Potem wyznaczam sumy dla każdego z ułamków:

\(\displaystyle{ \frac{2}{-2x+1}=2 \cdot \frac{1}{1-2x}= \sum_{n=0}^{ \infty }2(2x) ^{n}= \sum_{n=0}^{\infty}2 ^{(n+1)}x ^{n}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x+3}= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1-(- \frac{1}{3}x) }= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{3}( -\frac{1}{3} ) ^{n}x ^{n}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3} \cdot (-1) ^{n} \cdot (\frac{1}{3}) ^{n} \cdot x ^{n}=\\ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3 ^{n+1} }\cdot (-1) ^{n} \cdot x ^{n}}\)

I ostatecznie:

\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=0}^{\infty}2 ^{(n+1)}x ^{n}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3 ^{n+1} }(-1) ^{n} x ^{n}}\)

\(\displaystyle{ a_{n}=2 ^{n+1} + \frac{(-1) ^{n} }{3 ^{n+1} }}\)

[jutrvy]

Jest gites.

[favorite01997]

Dzięki wielkie!