Delegacje (symbon Newtona)

[blazej30]

Mam takie zadanie, z liceum:

W klasie jest 12 dziewczyn i 10 chłopców. Z tej klasy wybieramy delegację liczącą 4 osoby. Na ile sposobów można to zrobić tak, aby wśród wybranych osób był co najmniej jeden chłopiec?

Mam też rozwiązanie tego zadania (z podręcznika), bardzo proste, że odejmujemy od sumy wszystkich delegacji, liczbę delegacji złożonych z samych dziewcząt, i rozumiem je.

\(\displaystyle{ {22 \choose 4} - {12 \choose 4} = 7315 - 495 = 6820}\)

Problem w tym, że nie wiem czemu takie inne rozumowanie, daje błędny wynik:

\(\displaystyle{ {10 \choose 1} * {21 \choose 3} = 10 * 1330 = 13300}\)

a nawet daje więcej kombinacji niż to możliwe.. Chodzi o to, żeby najpierw wybrać jednego chłopca, a potem do niego dobrać z pozostałych 21 osób dowolne trzy (i wykorzystać regułę mnożenia).
Będę bardzo wdzięczny za wyjaśnienie, jaki tkwi w tym błąd.

[janusz47]

Co najmniej jeden chłopiec tzn. 1, lub 2,lub 3, lub 4 chłopców.

Drugi sposób:

\(\displaystyle{ S( C\geq 1) = S(C=1)+S(C=2) + S(C=3)+S(C=4)= {10\choose 1}\cdot {12\choose 3}+ {10\choose 2}\cdot {12\choose 2} + {10\choose 3}{12\choose 1} +{10\choose 4}\cdot {12\choose 0}.}\)

Proszę sprawdzić, że wynik zgadza się z odpowiedzią w książce.

Program R

Kod: Zaznacz cały

> S = choose(10,1)*choose(12,3)+choose(10,2)*choose(12,2)+choose(10,3)*choose(12,1)+choose(10,4)*choose(12,0)
> S
[1] 6820

[blazej30]

Tak, to się zgadza, chodzi o to, że nadal nie rozumiem, dlaczego trzeba rozdzielać dziewczynki i chłopców, i dlaczego ten sposób który podałem, daje zły wynik?