Suma elementów z silnią

[szymonszymon]

Witam, potrzebuję pomocy z udowodnieniem następującej równości. Brakuje mi pomysłu na dowód, jak dowodzi się równości tego typu?


\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^k {\frac{(n-(i+1))!}{(k-i)!}} =\frac{n!}{k!(n-k)}}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[Premislav]

Proponuję tzw. negację górnego indeksu.

Tzn. skorzystanie ze wzorku
\(\displaystyle{ {k-r-1 \choose k}=(-1)^k{r \choose k}}\)
dla odpowiednich \(\displaystyle{ k,r}\). Może żeby przyspieszyć bieg spraw:
\(\displaystyle{ k:=k-i, r:=k-n}\)

[jutrvy]

Jest fajowska interpretacja geometryczna

Jakie permutacje zliczasz po prawej stronie?

[szymonszymon]

Dziękuję za pomoc!
Po prawej podałem część większej sumy, lecz jej fragment była niezależny od wskaźnika i, więc go wyłączyłem poza sumę. Co do samego zadania, na początku, przed przelształceniami, była to suma iloczynów dwóch wariacji zależnych od i.
Gdzie mogę dowiedziećsię o interpretacji geometrycznej?

[jutrvy]

Pomyłka, nie geometryczna, a kombinatoryczna.