liczba sposobów rozłożenia liczby na trzy czynniki

[WolfusA]

Na ile sposobów można rozłożyć na trzy czynniki liczbę 404187265625, z uwzględnieniem kolejności dzielników i z powtórzeniami dzielników.
Wskazówką może być fakt, że ta liczba to iloczyn potęg \(\displaystyle{ 5^{7} \times 11^{3} \times 13^{2} \times 23^{1}}\)
Najłatwiejsze rozwiązanie, do którego dotarłem to grupowanie tych liczb, z uwzględnianiem potęg, ale to dość kłopotliwe i długotrwałe, więc poddałem się po dotarciu do potęgi liczby 11. Czy macie jakiś prosty sposób na to zadanie?

[macik1423]

Może tak, jedno z rozwiązań:
\(\displaystyle{ 5,5,5,5|5,5,5,11,11,11|13,13,23}\),
\(\displaystyle{ 625\cdot 166375 \cdot 3887}\),
wstawiamy dwie kreski w możliwe \(\displaystyle{ 12}\) miejsc \(\displaystyle{ {12 \choose 2}}\)

[WolfusA]

Widziałem rozwiązanie "firmowe" i według autora zadania ta liczba to
\(\displaystyle{ \binom{7+2}{2}\binom{3+2}{2}\binom{2+2}{2}\binom{1+2}{2}}\)

[Mruczek]

Może tak, jedno z rozwiązań:
\(\displaystyle{ 5,5,5,5|5,5,5,11,11,11|13,13,23}\),
\(\displaystyle{ 625\cdot 166375 \cdot 3887}\),
wstawiamy dwie kreski w możliwe \(\displaystyle{ 12}\) miejsc \(\displaystyle{ {12 \choose 2}}\)

To jest źle dlatego, że np. w rozkładzie pierwszej liczby na czynniki mogą być zarówno czynniki \(\displaystyle{ 5}\) i \(\displaystyle{ 23}\), a może np. nie być czynnika \(\displaystyle{ 11}\) - takich liczb to rozwiązanie nie uwzględnia.

Każdemu z trzech dzielników przyporządkujmy czwórkę liczb, które są wykładnikami potęg czynników pierwszych kolejno: \(\displaystyle{ 5}\), \(\displaystyle{ 11}\), \(\displaystyle{ 13}\), \(\displaystyle{ 23}\). Niech dzielnikowi postaci \(\displaystyle{ x_{i}= 5^{a_{i}} \cdot 11^{b_{i}} \cdot 13^{c_{i}} \cdot 23^{d_{i}}}\) odpowiada czwórka \(\displaystyle{ \left( a_{i} , b_{i} , c_{i} , d_{i} \right)}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le i \le 2}\).
Wykładniki muszą się sumować do odpowiednich wartości, więc szukamy trójek czwórek takich, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0} +a_{1}+a_{2} = 7 \\ b_{0} +b_{1}+b_{2} = 3 \\ c_{0} +c_{1}+c_{2} = 2 \\ d_{0} +d_{1}+d_{2} = 1 \end{cases}}\)
Szukana liczba trójek dzielników to liczba rozwiązań tego układu równań w liczbach całkowitych nieujemnych.
Każde z powyższych równań można zinterpretować przy pomocy kombinacji z powtórzeniami, np. \(\displaystyle{ a_{0} +a_{1}+a_{2} = 7}\) odpowiada liczbie multizbiorów \(\displaystyle{ 7}\)-elementowych ze zbioru \(\displaystyle{ 3}\)-elementowego, jest ich \(\displaystyle{ \binom{7+2}{2}}\). Dlatego wynik jest taki jak podałeś, czyli: \(\displaystyle{ \binom{7+2}{2}\binom{3+2}{2}\binom{2+2}{2}\binom{1+2}{2}}\)