Witam, jaki jest ogólny sposób rozwiązywania takich zadań?
1.Czy może istnieć 2-konfiguracja \(\displaystyle{ (10, 3, 1)}\)
2. Czy może istnieć 3-konfiguracja \(\displaystyle{ (12, 4, 1)}\)
3. Czy może istnieć 3-konfiguracja \(\displaystyle{ (12, 4, 2)}\)
Przeszukiwałem google i nie znalazłem satysfakcjonującej mnie odpowiedzi.
Czy może istnieć podana t-konfiguracja?
-
Mruczek
- Użytkownik
- Posty: 1114
- Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 157 razy
Czy może istnieć podana t-konfiguracja?
Coś słabo szukałeś:
1. Nie. Dla \(\displaystyle{ 2}\)-konfiguracji jest wzór, który konfiguracja musi spełniać: \(\displaystyle{ r(k - 1) = \lambda (v - 1)}\).
Tutaj: \(\displaystyle{ v = 10}\), \(\displaystyle{ k = 3}\), \(\displaystyle{ \lambda = 1}\), czyli \(\displaystyle{ 2r = 9}\), ale \(\displaystyle{ 9}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\), więc konfiguracja nie istnieje.
Jest też twierdzenie mówiące, ze każda \(\displaystyle{ t}\)-konfiguracja jest \(\displaystyle{ s}\)-konfiguracją dla dowolnego \(\displaystyle{ 1 \le s < t}\).
Gdyby istniały \(\displaystyle{ 3}\)-konfiguracje z podpunktów 2. i 3. to musiałyby być one też \(\displaystyle{ 2}\)-konfiguracjami ze zmienionym parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\) na \(\displaystyle{ \lambda_{2}}\):
\(\displaystyle{ \lambda_{2}= \frac{\lambda {v-2 \choose t-2}}{{k - 2 \choose t - 2}}}\)
U nas \(\displaystyle{ v = 12}\), \(\displaystyle{ k = 4}\), \(\displaystyle{ t = 3}\), czyli:
\(\displaystyle{ \lambda_{2}= \frac{\lambda {10\choose 1}}{{2 \choose 1}}=5\lambda}\)
2. Tutaj \(\displaystyle{ \lambda = 1}\), więc \(\displaystyle{ \lambda_{2} = 5}\).
\(\displaystyle{ r(k - 1) = \lambda_{2} (v - 1)}\)
\(\displaystyle{ 3r = 5 \cdot 11}\), ale \(\displaystyle{ 55}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), więc taka konfiguracja nie istnieje.
3. Tutaj \(\displaystyle{ \lambda = 2}\), więc \(\displaystyle{ \lambda_{2} = 10}\).
\(\displaystyle{ r(k - 1) = \lambda_{2} (v - 1)}\)
\(\displaystyle{ 3r = 10 \cdot 11}\), ale \(\displaystyle{ 110}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), więc taka konfiguracja nie istnieje.
Ogólnie łatwiej jest udowodnić, że konfiguracja nie istnieje niż ją znaleźć, więc w takich zadaniach zwykle odpowiedzią jest nie.
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Block_design1. Nie. Dla \(\displaystyle{ 2}\)-konfiguracji jest wzór, który konfiguracja musi spełniać: \(\displaystyle{ r(k - 1) = \lambda (v - 1)}\).
Tutaj: \(\displaystyle{ v = 10}\), \(\displaystyle{ k = 3}\), \(\displaystyle{ \lambda = 1}\), czyli \(\displaystyle{ 2r = 9}\), ale \(\displaystyle{ 9}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\), więc konfiguracja nie istnieje.
Jest też twierdzenie mówiące, ze każda \(\displaystyle{ t}\)-konfiguracja jest \(\displaystyle{ s}\)-konfiguracją dla dowolnego \(\displaystyle{ 1 \le s < t}\).
Gdyby istniały \(\displaystyle{ 3}\)-konfiguracje z podpunktów 2. i 3. to musiałyby być one też \(\displaystyle{ 2}\)-konfiguracjami ze zmienionym parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\) na \(\displaystyle{ \lambda_{2}}\):
\(\displaystyle{ \lambda_{2}= \frac{\lambda {v-2 \choose t-2}}{{k - 2 \choose t - 2}}}\)
U nas \(\displaystyle{ v = 12}\), \(\displaystyle{ k = 4}\), \(\displaystyle{ t = 3}\), czyli:
\(\displaystyle{ \lambda_{2}= \frac{\lambda {10\choose 1}}{{2 \choose 1}}=5\lambda}\)
2. Tutaj \(\displaystyle{ \lambda = 1}\), więc \(\displaystyle{ \lambda_{2} = 5}\).
\(\displaystyle{ r(k - 1) = \lambda_{2} (v - 1)}\)
\(\displaystyle{ 3r = 5 \cdot 11}\), ale \(\displaystyle{ 55}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), więc taka konfiguracja nie istnieje.
3. Tutaj \(\displaystyle{ \lambda = 2}\), więc \(\displaystyle{ \lambda_{2} = 10}\).
\(\displaystyle{ r(k - 1) = \lambda_{2} (v - 1)}\)
\(\displaystyle{ 3r = 10 \cdot 11}\), ale \(\displaystyle{ 110}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), więc taka konfiguracja nie istnieje.
Ogólnie łatwiej jest udowodnić, że konfiguracja nie istnieje niż ją znaleźć, więc w takich zadaniach zwykle odpowiedzią jest nie.