Ciąg z funkcji tworzącej

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
PatrykTraveler
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 7 cze 2015, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Obłok Magellana
Podziękował: 3 razy

Ciąg z funkcji tworzącej

Post autor: PatrykTraveler »

Witam, mam problem z tym przykładem:

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{2x}{1-x^{2}} + x}\)

Nie mam pomysłu co zrobić z tym osobnym \(\displaystyle{ x}\).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Ciąg z funkcji tworzącej

Post autor: Premislav »

Jak to co? \(\displaystyle{ x=1\cdot x}\), więc po prostu dodajesz jedynkę do \(\displaystyle{ a_1}\) w ciągu, którego funkcją tworzącą jest \(\displaystyle{ \frac{2x}{1-x^2}}\)

Dokładniej:
\(\displaystyle{ \frac{2x}{1-x^2}= \frac{x}{1-x}+ \frac{x}{1+x}= \sum_{n=1}^{ \infty } x^n+\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^{n+1}x^n= \sum_{n=1}^{ \infty }(1+(-1)^{n+1})x^n}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{2x}{1-x^2} +x= \sum_{n=1}^{ \infty }b_n x^n}\),
gdzie
\(\displaystyle{ b_n= \begin{cases} 3 \text{ gdy } n=1 \\ 1+(-1)^{n+1} \text{ gdy } n>1 \end{cases}}\)
PatrykTraveler
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 7 cze 2015, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Obłok Magellana
Podziękował: 3 razy

Ciąg z funkcji tworzącej

Post autor: PatrykTraveler »

Dziękuję, nie mam wprawy do takich zadań.
ODPOWIEDZ