Kombinatoryka-kule czerwone i ponumerowane pudełka

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Piotrox
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 21 sty 2017, o 12:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 1 raz

Kombinatoryka-kule czerwone i ponumerowane pudełka

Post autor: Piotrox »

Witam, nie wiem zupełnie jak się zabrać i jak pojąć następujące zadanie:

Na ile sposobów można rozmieścić 5 czerwonych kulek w 4 ponumerowanych pudełkach?

Byłbym wdzięczny gdyby ktoś mi wytłumaczył jak robić tego typu zadania czego można użyć itd.
RCCK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 3 lut 2015, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Kombinatoryka-kule czerwone i ponumerowane pudełka

Post autor: RCCK »

Skoro wszystkie kulki są czerwone to nie ma znaczenia ich kolejność. Ważna jest tylko ilość kulek w poszczególnych pudełkach ponieważ te są wyróżnione między sobą numerami. Na początku trzeba się zastanowić na ile sposobów możemy podzielić te \(\displaystyle{ 5}\) kulek między \(\displaystyle{ 4}\) pudełka, czyli w gruncie rzeczy chcemy przedstawić liczbę \(\displaystyle{ 5}\) jako sumę \(\displaystyle{ 4}\) liczb całkowitych.

No i mamy
\(\displaystyle{ 5+0+0+0}\)
\(\displaystyle{ 4+1+0+0}\)
\(\displaystyle{ 3+2+0+0}\)
\(\displaystyle{ 3+1+1+0}\)
\(\displaystyle{ 2+2+1+0}\)
\(\displaystyle{ 1+1+1+2}\)

I teraz trzeba policzyć ile jest wszystkich możliwości ułożenia składników tych sum, ponieważ ma to znaczenie na którym miejscu jest np. piątka a na którym zero.

Idąc po kolei mamy
\(\displaystyle{ 4}\) możliwości
\(\displaystyle{ 4 \cdot 3}\) możliwości (wybieramy jedno z \(\displaystyle{ 4}\) miejsc dla czwórki i jedno z \(\displaystyle{ 3}\) dla jedynki)
\(\displaystyle{ 4 \cdot 3}\) możliwości (jw.)
\(\displaystyle{ 4 \cdot 3}\) możliwości (znowu to samo tylko teraz miejsce dla zera i dla trójki)
\(\displaystyle{ 4 \cdot 3}\) możliwości (dla zera i jedynki)
\(\displaystyle{ 4}\) możliwości jak w pierwszym przypadku

Dodajemy wszystko i mamy wynik, tak chyba najprościej to zrobić
Piotrox
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 21 sty 2017, o 12:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 1 raz

Kombinatoryka-kule czerwone i ponumerowane pudełka

Post autor: Piotrox »

Dziękuje za pomoc zrozumiałem wszystko no i się przydało:)
ODPOWIEDZ