Ile jest różnych pokolorowań

[PatrykTraveler]

Ile jest różnych pokolorowań wierzchołków trójramiennej gwiazdy 3 kolorami, jeśli dwie gwiazdy uważamy za takie same, jeśli jedna z nich powstaje z drugiej poprzez dowolne przekształcenie izometryczne?

Bardzo prosiłbym o wytłumaczenie tego zadania.

[kerajs]

Niech kolory to a,b,c. Wtedy możliwych jest 10 pokolorowań dla wierzchołków (1,2,3) :
\(\displaystyle{ (a,a,a),(b,b,b),(c,c,c),(a,a,b),(a,a,c),(b,b,a),(b,b,c),(c,c,a),(c,c,b),(a,b,c)}\)
Każde inne można otrzymać przez obrót lub symetrię osiową. Sam popróbuj z kilkoma niewypisanymi pokolorowaniami.

Edit: Gwiazda trójramienna:

AU

200px-Emblem_of_the_International_Brigadessvg.png (6.44 KiB) Przejrzano 69 razy

(albo taka z maski Mercedesa)

[arek1357]

Po pierwsze nikt nie wie jak wygląda gwiazda trójramienna, a po drugie jak już będzie wiadomo jak wygląda trzeba rozpisać grupę izometrii tejże gwiazdy i stosując lemat Burnsidea otrzymamy wynik.

[PatrykTraveler]

Nie za bardzo orientuję się w tym temacie, ale czy nie trzeba użyć wszystkich kolorów? Co z środkowym węzłem?

[arek1357]

Wybacz ale jaki masz środkowy węzeł.

Narysuj sobie inną gwiazdę dobierze się inną grupę izometrii albo i tę samą ale na innym zbiorze do kolorowania.

Gwiazda nie jest pojęciem absolutnym i jedynym jak np. trójkąt.

No teraz już każdy będzie wiedział jak wygląda gwiazda trójramienna a nawiasem piękna gwiazda

\(\displaystyle{ S_{3}}\) grupa izometrii

\(\displaystyle{ (a)(b)(c)}\)

\(\displaystyle{ (a,b)(c)}\)

\(\displaystyle{ (a,c)(b)}\)

\(\displaystyle{ (b,c)(a)}\)

\(\displaystyle{ (a,b,c)}\)

\(\displaystyle{ (a.c,b)}\)


\(\displaystyle{ 3^3+3*3^2+2*3^1=60}\)

\(\displaystyle{ 60:6=10}\)

[kerajs]

ale czy nie trzeba użyć wszystkich kolorów?

Moim zdaniem z treści zadania nie wynika, że należy użyć wszystkich kolorów w jednym malowaniu

Co z środkowym węzłem?

Jeżeli gwiazda to takie Y albo łamana zamknięta z sześcioma załamaniami to kolorowań będzie więcej. Ale to Twoje zadanie, i tylko Ty wiesz którą 'gwiazdę' należy rozważać.
(W przypadku Y z czterema punktami malowania wystarczy poprzedni wynik pomnożyć przez 3, czyli ilość możliwych pomalowań środka gwiazdy)

[PatrykTraveler]

Przepraszam za niedomówienie, tak chodzi o gwiazdę w kształcie Y z czterema punktami. Wynik mnoży się przez 3, bo środek zawsze pozostaje sobą przy dowolnym przekształceniu?