Punkty niewspółliniowe na płaszczyźnie.

[pawlo392]

Mamy \(\displaystyle{ 66}\) niewspółliniowych punktów na płaszczyźnie. Wszystkie łączymy odcinkami
koloru czerwonego, żółtego, zielonego lub niebieskiego. Udowodnij, że zawsze
znajdzie się trójkąt jednego koloru.

[SlotaWoj]

Jeżeli są trójkami niewspółliniowe, to można z nich zbudować \(\displaystyle{ {66\choose3}\!=45760}\) trójkątów. Boki każdego trójkąta są oznaczone poczwórnie kolorami, więc takich jednokolorowych trójkątów będzie dokładnie \(\displaystyle{ 4\cdot45760=183040}\) , a \(\displaystyle{ 183040>1}\) .

[arek1357]

Nie widzi mi się to rozwiązanie

[Mruczek]

Bardzo znane zadanie.

Można to przepisać na terminologię grafową: klika \(\displaystyle{ 66}\) wierzchołkowa, której krawędzie kolorujemy \(\displaystyle{ 4}\) kolorami. Trzeba pokazać, że znajdzie się monochromatyczny trójkąt.
Tak naprawdę to zadanie jest związane z liczbami i twierdzeniem Ramsey'a - zachodzi \(\displaystyle{ R\left(3, 3, 3, 3 \right) \le 66}\).

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Ramseya

Podobne zadanie tutaj (zawodnicy to wierzchołki, a miasta to kolory krawędzi) - rozwiązanie:

[SlotaWoj]

Nie ulega wątpliwości, że wszystkie (punkty) należy rozumieć jako każdą parę.
Mruczek miałby rację, gdyby w temacie zadania było: każdą parę łączymy odcinkiem o jednym z czterech kolorów.

[arek1357]

Tu jest dokładnie to samo:

https://www.matematyka.pl/414064.htm#p5460606

[Mruczek]

Nie ulega wątpliwości, że wszystkie (punkty) należy rozumieć jako każdą parę.
Mruczek miałby rację, gdyby w temacie zadania było: każdą parę łączymy odcinkiem o jednym z czterech kolorów.

Tak, autor temat po prostu się przejęzyczył. Jestem pewny, że chodziło o moją (i arek1357 wersję). To znane zadanie, liczba \(\displaystyle{ 66}\) i cztery kolory na to wskazują.

[pawlo392]

Dziękuje za źródła.