Znajdź funkcję tworzącą ciągu zadanego wzorem rekurencyjn

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
antek_k
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 17 lis 2016, o 20:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tuitam
Podziękował: 4 razy

Znajdź funkcję tworzącą ciągu zadanego wzorem rekurencyjn

Post autor: antek_k »

Witam, prosiłbym o sprawdzenie rozwiązania poniższego przykładu.
\(\displaystyle{ a_{n}=2a_{n-1}+(\frac{1}{2})^{n}

a_{0}=5}\)

Ze wzoru na \(\displaystyle{ f(x)}\):

\(\displaystyle{ f(x)=5+2\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n-1}}x^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac{1}{2}})^nx^{n}}\)
Przekształcam szereg w funkcję:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2}x)^n=\frac{\frac{1}{2}x}{1-\frac{1}{2}x}}\)

i otrzymuję:
\(\displaystyle{ f(x)=5+2xf(x)+\frac{x}{2-x}}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{10-4x}{(2-x)(1-2x)}}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Znajdź funkcję tworzącą ciągu zadanego wzorem rekurencyjn

Post autor: Premislav »

Idea rozwiązania jest poprawna, końcowego wyniku nie sprawdzałem, od tego jest np. wolfram.
antek_k
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 17 lis 2016, o 20:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tuitam
Podziękował: 4 razy

Znajdź funkcję tworzącą ciągu zadanego wzorem rekurencyjn

Post autor: antek_k »

dziękuje, głównie chodziło mi właśnie o potwierdzenie czy poprawne jest to przekształcenie z szeregu w funkcje.
ODPOWIEDZ