50 kul białych i 50 kul czarnych

[zeniks]

Witam
Z góry przepraszam za wszelkie uchybienia dobrym obyczajom tego forum .
Uczniem już nie jestem od pięćdziesięciu lat ; ale nurtuje mnie pewne zadanie którego rozwiązać nie potrafię . Proszę więc Was o pomoc z uwzględnieniem iż nie znam obecnie panującej notacji i nomenklatury .
------------------------------------------>
Mamy worek a w nim 50 kul białych i 50 czarnych razem 100 .
Ilu należy dokonać prób wyciągnięcia z tego worka po 12 kul tak aby były one wszystkie jednakowego koloru czyli np 12 kul białych lub 12 kul czarnych .
1) Czyli jest to pytanie o prawdopodobieństwo zdarzenia wyciągnięcia 12 jednakowych kul ze 100 .
za każdym razem losowanie zaczynając od pełnej ilości kul w worku (100)

Bo już sytuacja kiedy wyciągnięte zostały by kule mieszane i od takiej ilości czynić obliczenia wydaje się zadaniem karkołomnym .


----------------------------------------------------------------
Mam nadzieję iż zrozumiale to opisałem .Byłbym bardzo wdzięczny za jakieś opisowe naświetlenie rozwiązania jeśli to możliwe .Zapisu w LaTex'ie raczej nie ogarnę .

Z góry dziękując
Pozdrawiam
zeniks


Gdy
"przespałem" się z problemem nasunęło mi się takie rozwiązanie " na piechotę ".
Powinienem umieć nazwać i wypisać " ilościowo " (?) wszystkie możliwe przypadki i iloraz ilości rozwiązań oczekiwanych do wszystkich możliwych powinno dać prawdopodobieństwo .

Możliwa jest to pewna niejednoznaczność polegająca na moim niedoprecyzowaniu sytuacji
np wyciągam jedną kulę białą i 11 czarnych ale istnieje druga alternatywa odwrotna
1 kula czarna i 11 kul białych . /lecz na razie jest to dla mnie drobny detal .... /

Czy dobrze to ujmuję ?

Pozdrawiam
zeniks

-- 13 sty 2017, o 10:54 --

Sporządziłem w arkuszu tabelkę

Kod: Zaznacz cały

Biała  	czarna		Zostało B	Zostało C
				

0````	12`````   `50``````	38``````
1````	11````		49``````	39``````
2````	10`````		48`````	40`````
3````	9`````		47``````	``41``````
4````	8`````		46``````	``42``````
5`````	7`````		45``````	``43``````
6`````	6``````		44`````	`44``````
7`````	5``````		43``````	`45``````
8`````	4	``````	42```````	`46``````
9``````	3``````  	41``````	`47``````
10````	2``````		40``````	`48`````
11````	1``````		39	```````49``````
12`````	0`````		38```````	50

Pokazuję w niej ogólne przypadki .Kolumny >> Zostało B<< (zostało białych ) i >> Zostało C<<
mówią o ilościach w przypadkach szczególnych tzn Przy wyciągnięciu np jednej białej mamy jeszcze 38 innych możliwości zaistnienia takich zdarzeń .

Nie wiem czy moje rozumowanie jest tu właściwe ; będę wdzięczny za każde słowo krytyczne .
Oczywiście jeśli uchybiam przyjętym tu normom również proszę o stosowne uwagi .

Pozdrawiam
zeniks

-- 13 sty 2017, o 10:58 --



-- 13 sty 2017, o 12:40 --

Pytanie
Czy liczba 572 jako podsumowanie kolumny >>Zostało ... << jest odpowiedzią na szans wylosowania ?
Szansa na wylosowanie 12 jednakowych kul wynosi jak jeden do 572 .
Czy się mylę ?
zeniks

[SlotaWoj]

Temat zadania rozumiem tak:

• Losujemy 12-krotnie ze zwracaniem jedną kulę ze zbioru 50 kul białych plus 50 kul czarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kule tylko jednego koloru.

Odpowiedź:

• \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}\right)^{12}=\frac{1}{4096}=0,000244140625}\)

[zeniks]

SlotaWoj bardzo dziękuję z Twoją odpowiedź
Wykazałeś że zupełnie byłem w błędzie w swoim rozumowaniu a jednocześnie pokazałeś prawidłowe podejście do zagadnienia.
Dziękuję również za wyliczenie konkretnej wartości prawdopodobieństwa.

Jeszcze nie rozumiem jak ma się ogólna ilość kul w tym wzorze /co by było gdyby było do wylosowania 12 jednakowych kul z urny zawierającej po 25 kul białych i 25 czarnych ?
Jaki miało by to wpływ na powyższy wzór?

Pozdrawiam
zeniks

[SlotaWoj]

Nie ma ilości kul w tym wzorze. Gdy kul białych i czarnych jest tyle samo, to losowania są równoważne dla każdej ilości. Najprostszy przypadek będzie z urną: jedna biała kula i jedna czarna.

[zeniks]

SlotaWoj
dziękuję bardzo za to wyjaśnienie chyba teraz jest wszystko jasne .
Tzn jest inaczej niż sobie wyobrażałem - "naprostowałeś mnie " Dzięki .
Pozdrawiam
zeniks

[SlotaWoj]

Uogólniając.

• Gdy w urnie jest \(\displaystyle{ b}\) kul białych i \(\displaystyle{ c}\) czarnych, to prawdopodobieństwo wylosowania (ze zwracaniem) w \(\displaystyle{ l}\) losowaniach tylko kul (odpowiednio) białych i czarnych wynosi:
  
  • \(\displaystyle{ \left(\frac{b}{b+c}\right)^l\quad\text{i}\quad\left(\frac{c}{b+c}\right)^l}\)

[zeniks]

SlotaWoj Dziękuję bardzo .
Jak zauważyłem na to prawdopodobieństwo największy wpływ ma ta docelowa ilość jednakowych kul. /u mnie 12 / /do potęgi 12 /
Pozdrawiam
zeniks