Matematyka.pl

Witam, prosze o pomoc w znalezieniu wzoru jawnego.

Ciagi typu
\(\displaystyle{ a_{n+2}=5\cdot a_{n+1}-6\cdot a_{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{0}=2}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=5}\)

rozwiazuje sie poprzez rownanie charakterystyczne, a co jesli mamy 3 skladniki sumy i sa to:

a). trzy wyrazy ciagu
\(\displaystyle{ a_{n+3}=2\cdot a_{n+2}+\cdot a_{n+1}-2\cdot a_{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{0}=0}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ a_{2}=9}\)

b). dwa wyrazy i wyraz wolny
\(\displaystyle{ a_{n+2}=5\cdot a_{n+1}-6\cdot a_{n}+5}\)
\(\displaystyle{ a_{0}=2}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=5}\)
?


Podpunkt a). mam w zbiorze w temacie / dziale rownania charakterystyczne i brak jest do niego rozwiazania, sama odpowiedz, wiec podejrzewam, ze jakos przez analogie mozna go rozwizac, niestety nie umiem.

Podpunkt b). znalazlem gdzies w jakims zbiorze...

Co do a), to możesz rozpatrywać analogiczne równanie charakterystyczne:
\(\displaystyle{ x^{3} = 2x^{2} + x - 2}\)
i akurat w tym wypadku są ładne rozwiązania.
Co do b) to zobacz (od 3 strony).

Nie do konca umiem jeszcze sobie poradzic z a).
Mam:
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1)(x-2)=0}\)
i teraz nie za bardzo wiem do czego to podstawic, dla wielomianu stopnia drugiego podstawialem pierwiastki do:
\(\displaystyle{ a\cdot 2^{n}+b\cdot 3^{n}}\)
gdzie wspolczynniki a i b sobie potem wyliczalem.

Jak wygalda takie rownanie dla wielomianu stopnia 3?

Odpowiedz do tego przykladu jest nastepujaca:
\(\displaystyle{ -4 + (-1)^{n}+3\cdot 2^{n}}\)
co sugeruje, ze w rownaniu, do ktorego bede podstawial wystepuja skladniki
\(\displaystyle{ (-1)^{n}}\) oraz \(\displaystyle{ 2^{n}}\)?


I jeszcze pytanie ogolne, czy rownanie takie jak w a). czyli postaci
\(\displaystyle{ A\cdot a_{n+3}=B\cdot a_{n+2}+C\cdot a_{n+1}-D\cdot a_{n}}\)
rozwiazuje sie poprzez rownanie trzeciego stopnia tzn:
\(\displaystyle{ A\cdot x^{3} = B\cdot x^{2} + C\cdot x - D}\)
czyli innymi slowy czy to co podales powyzej mozna przeniesc na ogolny przypadek?

Dziekuje za pomoc.

Ładnie opisał to zagadnienie w kompendium polskimisiek https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=25578
Polecam szczególnie dużą uwagę poświęcić "ważnym uwagom". Tam są odpowiedzi na twoje wątpliwości.

możesz skorzystać z funkcji tworzących

a)

\(\displaystyle{ a_{n+3}=2a_{n+2}+a_{n+1}-2a_n \quad \hbox{, gdzie} \quad a_0=0, \quad a_1=1, \quad a_2=9}\)

oznaczmy \(\displaystyle{ F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n}\)

wówczas równanie możemy zapisać w postaci

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^3}(F(x)-9x^2-x)=\frac{2}{x^2}(F(x)-x)+\frac{1}{x}F(x)-2F(x)}\)

co po przekształceniach daje

\(\displaystyle{ F(x)=\frac{3}{1-2x}-\frac{4}{1-x}+\frac{1}{1+x}}\)

rozwijając w szereg otrzymujemy

\(\displaystyle{ a_n=3\cdot2^n+(-1)^n-4}\)

b) analogicznie

\(\displaystyle{ a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_{n}+5 \quad \hbox{, gdzie} \quad a_0=2, \quad a_1=5}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}(F(x)-5x-2)=\frac{5}{x}(F(x)-2)-6F(x)+\frac{5}{1-x}}\)

\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{6}(\frac{15}{1-x}-\frac{24}{1-2x}+\frac{21}{1-3x})}\)

\(\displaystyle{ a_n=\frac{15+7\cdot3^{n+1}}{6}-2^{n+2}}\)

Dziekuje bardzo za pomoc