Nie pomyślałbym, że zadania z treścią będą dla mnie trudniejsze, a jednak... Więc mam kilka za które nie wiem nawet jak się zabrać, a niektóre ruszyłem, ale wyniki również są złe.
1.Mówimy, że rozwiązujący pewien problem student jest na \(\displaystyle{ n-tym}\) etapie jeżeli do rozwiązania problemu pozostaje mu n kroków \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Na każdym etapie ma on \(\displaystyle{ 5}\) możliwości postępowania. Dwie z nich prowadzą go z \(\displaystyle{ n-tego}\) do \(\displaystyle{ (n−1)-go}\) etapu, a pozostałe \(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ n-tego}\) do \(\displaystyle{ (n-2)-go}\) etapu. Niech \(\displaystyle{ a_{n}}\) oznacza liczbę sposobów rozwiązania problemu zaczynając od \(\displaystyle{ n-tego}\) etapu. Przyjmując , że problem na pierwszym etapie można rozwiązać na \(\displaystyle{ 5}\) sposobów, a na drugim na \(\displaystyle{ 13}\), wyznaczyć liczbę sposobów rozwiązania problemu w ogólnej sytuacji czyli na \(\displaystyle{ n-tym}\) etapie.
Tutaj więc wymyśliłem coś takiego:
\(\displaystyle{ a_{1}=5}\) \(\displaystyle{ a_{2}=13}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=2a_{n-1}+3a_{n-2}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-2x-3=0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=4}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=-1}\) \(\displaystyle{ x_{2}=3}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=(-1)^{n}c_{1}+3^{n}c_{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -c_{1}+3c_{2}=5\\c_{1}+9c_{2}=13\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ c_{1}= -\frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ c_{2}=\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=(-1)^{n}\cdot(-\frac{1}{2}) + 3^{n}\cdot\frac{3}{2}}\)
a odp. to \(\displaystyle{ a_{n}=(-1)^{n+1}\cdot(\frac{1}{2}) + 3^{n+1}\cdot\frac{1}{2}}\)
2.Przypuśćmy, że pewien prymitywny organizm osiąga dojrzałość po dwóch godzinach od urodzenia i ma wtedy pierwszych czterech potomków, a następnie co godzinę ma sześciu kolejnych potomków. Zakładając, że wszystkie urodzone organizmy zachowują się tak samo oraz że rozpoczęliśmy z jednym nowo urodzonym organizmem, obliczyć ilość organizmów
po upływie \(\displaystyle{ n}\) godzin od momentu urodzenia pierwszego z nich
Tutaj nie mam pojęcia jak zacząć nawet..
3. Pewien samochód kosztował 10 tys euro. Klient kupił go w ramach sprzedaży ratalnej. Co miesiąc do sumy do spłacenia doliczane jest 10% rzeczywistych odsetek a klient spłaca ratę w wysokości 0,5 tys. euro. Znajdź wzór jawny na \(\displaystyle{ a_{n}}\) sumę pozostającą do spłacenia po \(\displaystyle{ n}\) miesiącach.
Tutaj też nie wiem co zrobić..
Wyznaczanie wzoru jawnego w zadaniach z treścią
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Wyznaczanie wzoru jawnego w zadaniach z treścią
Co do zadania pierwszego:
Przecież to jest to samo!\(\displaystyle{ a_{n}=(-1)^{n}\cdot(-\frac{1}{2}) + 3^{n}\cdot\frac{3}{2}}\)
a odp. to \(\displaystyle{ a_{n}=(-1)^{n+1}\cdot(\frac{1}{2}) + 3^{n+1}\cdot\frac{1}{2}}\)
-
karpiuch
- Użytkownik
- Posty: 249
- Rejestracja: 18 maja 2013, o 22:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 3 razy
Wyznaczanie wzoru jawnego w zadaniach z treścią
Tak, teraz głupi ja zauważyłem, że \(\displaystyle{ 3^{n}\cdot 3=3^{n+1}}\), podobnie z \(\displaystyle{ -1}\).-- 10 sty 2017, o 20:20 --W drugim zadaniu przyjąć
\(\displaystyle{ a_{0}=1
a_{1}=5}\)?
Natomiast na \(\displaystyle{ a_{n}}\) nie mam pomysłu.
\(\displaystyle{ a_{0}=1
a_{1}=5}\)?
Natomiast na \(\displaystyle{ a_{n}}\) nie mam pomysłu.
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5747
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 526 razy
Wyznaczanie wzoru jawnego w zadaniach z treścią
Co do drugiego noo banalnym nie jest ale po analizie zrobiłem coś takiego:
\(\displaystyle{ x_{n}}\) - tyle osobników rodzi się dokładnie w entej godzinie.
\(\displaystyle{ a_{n}}\) - tyle osobników istnieje dokładnie w entej godzinie.
Te poniższe rozpiski są co godzinę:
\(\displaystyle{ x_{1}=1, \\ x_{2}=0, \\ x_{3}=4, \\\ x_{4}=6 , \\ x_{5}=22 ,...}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=1, \\ a_{2}=1 , \\ a_{3}=5, \\\ a_{4}=11, \\ a_{5}=33 ,...}\)
I zaobserwowałem coś takiego i za późno na tłumaczenie:
\(\displaystyle{ x_{n+3}=4x_{n+1}+6a_{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{n+3}=a_{n+2}+x_{n+3}}\)
Przelicz sobie jeszcze.
Stosując funkcje tworzące można to sprowadzić do postaci jawnej.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+3}x^n=4 \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+1}x^n +6 \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+3}x^n= \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+2}x^n+ \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+3}x^n}\)
lub:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^3} \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+3}x^{n+3} = \frac{4}{x} \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+1}x^{n+1}+6 \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^n}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^3} \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+3}x^{n+3}= \frac{1}{x^2} \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}+ \frac{1}{x^3} \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+3}x^{n+3}}\)
Podstawmy:
\(\displaystyle{ Z= \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n}x^n , \ Y= \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^n}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^3}\left[ Z-x-4x^3\right] = \frac{4}{x}\left[ Z-x\right] +6Y}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^3}\left[ Y-x-x^2-5x^3\right]= \frac{1}{x^2}\left[ Y-x-x^2\right] + \frac{1}{x^3}\left[ Z-x-4x^3\right]}\)
Po skróceniu i wymnożeniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ Z-4x^2Z=x+6x^3Y}\)
\(\displaystyle{ Y-Yx=Z}\)
albo:
\(\displaystyle{ Z= \frac{x(1-x)}{1-x-4x^2-2x^3}}\)
\(\displaystyle{ Y= \frac{x}{1-x-4x^2-2x^3}}\)
jak je rozłożymy w szereg to otrzymamy:
\(\displaystyle{ Z= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2} \left[ -4 (-1)^n - (-2 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})^n + (1 - \sqrt{3})^n (2 + \sqrt{3})\right] x^n}\)
\(\displaystyle{ Y= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{6} \left[ -6 (-1)^n - (-3 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})^n + (1 - \sqrt{3})^n (3 + \sqrt{3})\right] x^n}\)
co daje nam ostatecznie upragnione ciągi:
\(\displaystyle{ x_{n}= \frac{-4 (-1)^n - (-2 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})^n + (1 - \sqrt{3})^n \cdot (2 + \sqrt{3})}{2} , n \ge 1}\)
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{-6 (-1)^n - (-3 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})^n + (1 - \sqrt{3})^n \cdot (3 + \sqrt{3})}{6} , n \ge 1}\)
Właściwym rozwiązaniem jest oczywiście \(\displaystyle{ a_{n}}\)
\(\displaystyle{ x_{n}}\) mówi nam tylko ile się rodzi w danej godzinie.
Sprawdzałem liczyć na pierwszych siedmiu wyrazach \(\displaystyle{ a_{n}}\)
I wszystko się zgadza jak z doświadczeniem...
Czyli powinno być ok.
Co do trzeciego zwykły procent składany nuda...
Zawsze rozpisuję ciągi i widzę jaka jest zależność między tymi co z tyłu a tymi co z przodu.
\(\displaystyle{ x_{n}}\) - tyle osobników rodzi się dokładnie w entej godzinie.
\(\displaystyle{ a_{n}}\) - tyle osobników istnieje dokładnie w entej godzinie.
Te poniższe rozpiski są co godzinę:
\(\displaystyle{ x_{1}=1, \\ x_{2}=0, \\ x_{3}=4, \\\ x_{4}=6 , \\ x_{5}=22 ,...}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=1, \\ a_{2}=1 , \\ a_{3}=5, \\\ a_{4}=11, \\ a_{5}=33 ,...}\)
I zaobserwowałem coś takiego i za późno na tłumaczenie:
\(\displaystyle{ x_{n+3}=4x_{n+1}+6a_{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{n+3}=a_{n+2}+x_{n+3}}\)
Przelicz sobie jeszcze.
Stosując funkcje tworzące można to sprowadzić do postaci jawnej.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+3}x^n=4 \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+1}x^n +6 \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+3}x^n= \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+2}x^n+ \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+3}x^n}\)
lub:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^3} \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+3}x^{n+3} = \frac{4}{x} \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+1}x^{n+1}+6 \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^n}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^3} \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+3}x^{n+3}= \frac{1}{x^2} \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}+ \frac{1}{x^3} \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n+3}x^{n+3}}\)
Podstawmy:
\(\displaystyle{ Z= \sum_{n=1}^{ \infty }x_{n}x^n , \ Y= \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^n}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^3}\left[ Z-x-4x^3\right] = \frac{4}{x}\left[ Z-x\right] +6Y}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^3}\left[ Y-x-x^2-5x^3\right]= \frac{1}{x^2}\left[ Y-x-x^2\right] + \frac{1}{x^3}\left[ Z-x-4x^3\right]}\)
Po skróceniu i wymnożeniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ Z-4x^2Z=x+6x^3Y}\)
\(\displaystyle{ Y-Yx=Z}\)
albo:
\(\displaystyle{ Z= \frac{x(1-x)}{1-x-4x^2-2x^3}}\)
\(\displaystyle{ Y= \frac{x}{1-x-4x^2-2x^3}}\)
jak je rozłożymy w szereg to otrzymamy:
\(\displaystyle{ Z= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2} \left[ -4 (-1)^n - (-2 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})^n + (1 - \sqrt{3})^n (2 + \sqrt{3})\right] x^n}\)
\(\displaystyle{ Y= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{6} \left[ -6 (-1)^n - (-3 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})^n + (1 - \sqrt{3})^n (3 + \sqrt{3})\right] x^n}\)
co daje nam ostatecznie upragnione ciągi:
\(\displaystyle{ x_{n}= \frac{-4 (-1)^n - (-2 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})^n + (1 - \sqrt{3})^n \cdot (2 + \sqrt{3})}{2} , n \ge 1}\)
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{-6 (-1)^n - (-3 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})^n + (1 - \sqrt{3})^n \cdot (3 + \sqrt{3})}{6} , n \ge 1}\)
Właściwym rozwiązaniem jest oczywiście \(\displaystyle{ a_{n}}\)
\(\displaystyle{ x_{n}}\) mówi nam tylko ile się rodzi w danej godzinie.
Sprawdzałem liczyć na pierwszych siedmiu wyrazach \(\displaystyle{ a_{n}}\)
I wszystko się zgadza jak z doświadczeniem...
Czyli powinno być ok.
Co do trzeciego zwykły procent składany nuda...
Zawsze rozpisuję ciągi i widzę jaka jest zależność między tymi co z tyłu a tymi co z przodu.