Wyznaczanie wzoru rekurencyjnego

[karpiuch]

Witam. Na dyskretnej mam takie zadanie za które nie wiem w ogóle jak się zabrać mianowicie:
Wielomian charakterystyczny jednorodnej rekurencji liniowej ma dwa pierwiastki jednokrotne równe \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -2}\). Podać postać tej rekurencji oraz jej rozwiązanie przy warunkach początkowych \(\displaystyle{ a_{1} = 0, a_{2}= 8}\)

Rozwiązałem to zadanie tak:
\(\displaystyle{ a_{n}=2^{n}c_{1} + (-2)^{n}c_{2}}\)

\(\displaystyle{ a_{1}=2c_{1}-2 c_{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{2}=4c_{1}+2 c_{2}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2c_{1}-2c_{2}=0\\4c_{1}+4c_{2}=8\end{cases}}\)
Z czego otrzymałem
\(\displaystyle{ \begin{cases} c_{1}=1\\c_{2}=1\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a_{n}=2^{n}+(-2)^{n}}\)

A w związku z tym, że lekko wyprzedziłem temat na zajęciach to nie wiem jak otrzymać z wzoru ogólnego wzór rekurencyjny.. Bo rozumiem, że zostało mi wyznaczyć tylko postać rekurencji, tak?

[szw1710]

Rozwiązanie rekurencji jak najbardziej poprawne. A równanie charakterystyczne jest postaci... (zapisz). Zauważ, że potęga niewiadomej \(\displaystyle{ r^k}\) odpowiada wyrazowi \(\displaystyle{ a_{n+k}}\) rekurencji. Spróbuj po tej wskazówce utworzyć tę rekurencję. To zadanie odwrotne do tworzenia równania charakterystycznego przy danej rekurencji.

[karpiuch]

Czyli teraz z miejsc zerowych tego równania charakterystycznego powinienem dojść do tego jak ono wygląda?

Coś jakby \(\displaystyle{ (x-2)}\) i \(\displaystyle{ (x+2)}\) czy źle rozumuję?

[szw1710]

Tak. Ale musisz połączyć te wyrażenia liniowe.

Ćwiczenie. Równaniem charakterystycznym rekurecji \(\displaystyle{ a_{n+3}-3a_{n+2}+a_{n+1}-a_n=0}\) jest \(\displaystyle{ r^3-3r^2+r-1=0}\). W drugą stronę: rekurencją o równaniu charakterystycznym \(\displaystyle{ r^4-8r^2+4r-6=0}\) jest ... (napisz).

[karpiuch]

\(\displaystyle{ a_{n+4} - 8a_{n+2} + 4a_{n+1} - 6a_{n}=0}\)

Więc wystarczy to zwyczajnie wymnożyć i powstaje mi równanie charakterystyczne?

[szw1710]

Właśnie to chciałem powiedzieć.

[karpiuch]

To jeszcze przed założeniem tematu do całkowicie innego zadania..

Co będzie gdy \(\displaystyle{ x}\) będzie wielokrotnym pierwiastkiem?

\(\displaystyle{ (c_{1} + c_{2}n + c_{3}n^{2} + ... + c_{m}n^{m-1})x^{n}}\)?

[szw1710]

Tak będzie. Mniej więcej, bo masz chaos w oznaczeniach. Lepiej zapisać wtedy

\(\displaystyle{ a_k=(c_0+c_1k+\dots+c_{n-1}k^{n-1})x^n}\)

[karpiuch]

Zapytam tu jeszcze o:
a początku pewna dziewczynka posiadała w szafie \(\displaystyle{ 2}\) sukienki a po roku
posiadała już \(\displaystyle{ 4}\) sukienki. Po każdym następnym roku liczba sukienek w szafie była równa sumie
potrojonej liczby sukienek na koniec poprzedniego roku i pomnożonej przez \(\displaystyle{ 4}\) liczby sukienek po
przedostatnim roku. Znajdź wzór jawny na \(\displaystyle{ a_{n}}\) - liczbę sukienek w szafie tej dziewczynki po \(\displaystyle{ n}\) latach.

No więc rozwiązałem to tak:
\(\displaystyle{ a_{0}=2}\), \(\displaystyle{ a_{1}=4}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=3a_{n-1}+4a_{n-2}}\)
\(\displaystyle{ x^{n}=3x^{n-1}+4x^{n-2}}\)
Wymnażam stronami przez \(\displaystyle{ x^{-n+2}}\)
I mam \(\displaystyle{ x^{2}-3x-4=0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=5}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=-1}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=4}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=(-1)^{n}c_{1}+4^{n}c_{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} c_{1}+c_{2}=2\\-c_{1}+4c_{2}=4\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ c_{1}=\frac{4}{5}}\) \(\displaystyle{ c_{2}=\frac{6}{5}}\)
Natomiast odpowiedzią jest wzór ze współczynnikami \(\displaystyle{ c_{1}=c_{2}=1}\)
Gdzie błąd?

[szw1710]

Na każde unikalne pytanie zakładaj osobny wątek. To nie wiąże się z zasadniczym tematem, przez co użytkownicy zwyczajnie nie dostrzegą tego, o co pytasz.

A może komuś się pomyliło i miało być, że w drugim roku ma trzy sukienki... Bo Twoje rozwiązanie jest poprawne.