Rekurencja - podaj wzór jawny

[Mr Krzysio]

Witam,
Treść zadania: Podaj wzór jawny na \(\displaystyle{ a _{n}}\) gdy,
\(\displaystyle{ a _{0} = 3}\)
\(\displaystyle{ a _{1} = -2}\)
\(\displaystyle{ a _{2} = 9}\)
\(\displaystyle{ a _{n} = a _{n-1} + a _{n-2} - a_{n-3} + 8, n \ge 3}\)

Wyszły mi dwa dwukrotne pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1} = 1, x_{2} = -1}\)
Nie wiem jak powinien wyglądać wzór ogólny. Jaki jest schemat jego wyznaczania?
Wzór szczególny wyszedł mi: \(\displaystyle{ a^{s}_{n} = 2n^{2}}\)

Widziałem rozwiązania podobnych zadań za pomocą szeregów ale nigdy nie miałem styczności z szeregami i nie wiem o co chodzi.
Dziękuję za pomoc!

[a4karo]

wsk: niech \(\displaystyle{ b_n=a_n-a_{n-2}}\). Wtedy \(\displaystyle{ b_n=b_{n-1}+8}\), czyli \(\displaystyle{ b_n=b_2+8(n-2)}\).

[Mr Krzysio]

Przepraszam, próbowałem ale nie rozumiem wskazówki.

[arek1357]

Rozpisz ręcznie to zrozumiesz.

[Mariusz M]

To rozwiązanie z szeregami byłoby wygodniejsze bo po wstawieniu do równania funkcji
zdefiniowanej w postaci sumy szeregu którego współczynnikami są wyrazy ciągu
każdy krok obliczeń wynika z poprzedniego

\(\displaystyle{ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}}\)

Twoja rekurencja zachodzi od \(\displaystyle{ n=3}\)
więc wstawiając sumujesz od \(\displaystyle{ n=3}\)

[yorgin]

Rekurencja jest stopnia trzeciego, więc równanie charakterystyczne nie może mieć dwóch dwukrotnych pierwiastków.

Wyszły mi dwa dwukrotne pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1} = 1, x_{2} = -1}\)
Nie wiem jak powinien wyglądać wzór ogólny. Jaki jest schemat jego wyznaczania?

Jeżeli pierwiastek \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ k}\)-krotny, to odpowiadający mu fragment rozwiązania to

\(\displaystyle{ A^n\cdot W_{k-1}(n)}\)

gdzie \(\displaystyle{ W_{k-1}(n)}\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ k-1}\).

U Ciebie jest \(\displaystyle{ k=2}\) w przypadku pierwiastka \(\displaystyle{ x=1}\), więc odpowiadający mu mu fragment rozwiązania to:

\(\displaystyle{ 1^n\cdot (an+b)}\)