Witam,
Treść zadania: Podaj wzór jawny na \(\displaystyle{ a _{n}}\) gdy,
\(\displaystyle{ a _{0} = 3}\)
\(\displaystyle{ a _{1} = -2}\)
\(\displaystyle{ a _{2} = 9}\)
\(\displaystyle{ a _{n} = a _{n-1} + a _{n-2} - a_{n-3} + 8, n \ge 3}\)
Wyszły mi dwa dwukrotne pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1} = 1, x_{2} = -1}\)
Nie wiem jak powinien wyglądać wzór ogólny. Jaki jest schemat jego wyznaczania?
Wzór szczególny wyszedł mi: \(\displaystyle{ a^{s}_{n} = 2n^{2}}\)
Widziałem rozwiązania podobnych zadań za pomocą szeregów ale nigdy nie miałem styczności z szeregami i nie wiem o co chodzi.
Dziękuję za pomoc!
Rekurencja - podaj wzór jawny
-
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 16:34
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 37 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Rekurencja - podaj wzór jawny
wsk: niech \(\displaystyle{ b_n=a_n-a_{n-2}}\). Wtedy \(\displaystyle{ b_n=b_{n-1}+8}\), czyli \(\displaystyle{ b_n=b_2+8(n-2)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 16:34
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 37 razy
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rekurencja - podaj wzór jawny
To rozwiązanie z szeregami byłoby wygodniejsze bo po wstawieniu do równania funkcji
zdefiniowanej w postaci sumy szeregu którego współczynnikami są wyrazy ciągu
każdy krok obliczeń wynika z poprzedniego
\(\displaystyle{ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}}\)
Twoja rekurencja zachodzi od \(\displaystyle{ n=3}\)
więc wstawiając sumujesz od \(\displaystyle{ n=3}\)
zdefiniowanej w postaci sumy szeregu którego współczynnikami są wyrazy ciągu
każdy krok obliczeń wynika z poprzedniego
\(\displaystyle{ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}}\)
Twoja rekurencja zachodzi od \(\displaystyle{ n=3}\)
więc wstawiając sumujesz od \(\displaystyle{ n=3}\)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Rekurencja - podaj wzór jawny
Rekurencja jest stopnia trzeciego, więc równanie charakterystyczne nie może mieć dwóch dwukrotnych pierwiastków.
\(\displaystyle{ A^n\cdot W_{k-1}(n)}\)
gdzie \(\displaystyle{ W_{k-1}(n)}\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ k-1}\).
U Ciebie jest \(\displaystyle{ k=2}\) w przypadku pierwiastka \(\displaystyle{ x=1}\), więc odpowiadający mu mu fragment rozwiązania to:
\(\displaystyle{ 1^n\cdot (an+b)}\)
Jeżeli pierwiastek \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ k}\)-krotny, to odpowiadający mu fragment rozwiązania toMr Krzysio pisze: Wyszły mi dwa dwukrotne pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1} = 1, x_{2} = -1}\)
Nie wiem jak powinien wyglądać wzór ogólny. Jaki jest schemat jego wyznaczania?
\(\displaystyle{ A^n\cdot W_{k-1}(n)}\)
gdzie \(\displaystyle{ W_{k-1}(n)}\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ k-1}\).
U Ciebie jest \(\displaystyle{ k=2}\) w przypadku pierwiastka \(\displaystyle{ x=1}\), więc odpowiadający mu mu fragment rozwiązania to:
\(\displaystyle{ 1^n\cdot (an+b)}\)