Problemy dotyczące rozwiązywania równań rekurencyjnych

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
magnes
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 26 kwie 2014, o 17:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

Problemy dotyczące rozwiązywania równań rekurencyjnych

Post autor: magnes »

Mam jeszcze kilka wątpliwości dotyczących rozwiązywania równań rekurencyjnych za pomocą funkcji tworzącej.


1. Jak postępować w przypadku równań niejednorodnych typu \(\displaystyle{ a_{n} = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} + n}\) - i z większymi potęgami n, np. \(\displaystyle{ a_{n} = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} + n^{3}}\) ?


2. Jak postępować w przypadku równań niejednorodnych typu \(\displaystyle{ a_{n} = 2a_{n-1} + ( \frac{1}{2}) ^{n}}\) ? W przypadku tej "reszty potęgowej" doszłam do postaci \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }( \frac{1}{2} \cdot x) ^{n}}\) - czy dobrze myślę, że aby rozwiązanie było poprawne, od utworzonej w tym przypadku sumy szeregu o \(\displaystyle{ a_{0}= \frac{1}{2}x}\) i \(\displaystyle{ q=\frac{1}{2}x}\) (ze względu na n=1) muszę odjąć jeszcze wartość \(\displaystyle{ ( \frac{1}{2} \cdot x ) ^{0}}\) , czyli 1?


3. Co robić, gdy w mianowniku funkcji tworzącej jest pierwiastek wielokrotny? Na zajęciach traktowaliśmy ją wtedy jako pochodną innej funkcji i wykonywaliśmy operacje na funkcji pierwotnej, a następnie wynik pod znakiem sumy różniczkowaliśmy. I rzeczywiście, ok, to działa na przykładzie, który przerabialiśmy - \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x ^{2} - 4x + 4 }}\), ale co, kiedy mam do czynienia z mniej przyjemną do policzenia całką, np. w czymś typu \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{x ^{2} - 4x + 1 }}\) ?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Problemy dotyczące rozwiązywania równań rekurencyjnych

Post autor: arek1357 »

magnes
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 26 kwie 2014, o 17:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

Problemy dotyczące rozwiązywania równań rekurencyjnych

Post autor: magnes »

Dzięki! Problem nr 1 rozwiązany Pomoże ktoś jeszcze z punktem 2. i 3.?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Problemy dotyczące rozwiązywania równań rekurencyjnych

Post autor: arek1357 »

Problem dwa jest dużo łatwiejszy niż problem jeden.



\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x^2-4x+4}= \frac{1}{(x-2)^2}}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} f(x)dx= \int_{}^{} \frac{dx}{(x-2)^2}= \frac{1}{2-x}= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1- \frac{1}{2}x }= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{ \infty }(2^{-1}x)^n=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{ \infty }2^{-n}x^n}\)

czyli:

\(\displaystyle{ f(x)=\left( \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{ \infty }2^{-n}x^n\right)'}\)

A to raczej zróżniczkujesz

A co za problem jak masz ix w liczniku robisz tak samo
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Problemy dotyczące rozwiązywania równań rekurencyjnych

Post autor: Mariusz M »

W przypadku pierwiastków wielokrotnych można też z dwumianu Newtona skorzystać
ODPOWIEDZ