Znajdź ciąg o podanej funkcji tworzącej

[magnes]

Mam za zadanie znaleźć ciąg, którego funkcją tworzącą jest \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{4+ x^{2} } + 3}\)
Wiem, jak rozwiązać podobne zadanie bez tej dodatkowej "3", ale w tym przykładzie zgłupiałam. Jak sobie poradzić z dodawaniem tej trójki?

[Premislav]

Wskazówka: \(\displaystyle{ 3=3x^0}\)

[magnes]

Wskazówka: \(\displaystyle{ 3=3x^0}\)

Ok, ale jak to zastosować? Nadal nie rozumiem...

Edit:
Aaaa, chyba już mam jakąś wizję Przy rozpisywaniu funkcji wymiernej trzeba "wystartować" nie od n=0, a od n=1, tak? A ta nieszczęsna trójka będzie w szukanym ciągu wyrazem \(\displaystyle{ a_{0}}\) ?

[Premislav]

No prawie. Po prostu dodajesz tę trójkę do \(\displaystyle{ a_0}\), reszta bez zmian.

Czyli np. jeśli
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}}\) jest funkcją tworzącą ciągu stałego \(\displaystyle{ a_n=1}\), to
\(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{1-x}}\) jest funkcją tworzącą takiego ciągu \(\displaystyle{ b_n}\), że\(\displaystyle{ b_0=1+1}\), \(\displaystyle{ b_n=a_n}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 1}\)
Tutaj analogicznie.

[magnes]

Dziękuję bardzo!