Witam
Proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższej łamigłówki:
Jest 1 000 żarówek ponumerowanych od 1 do 1 000. Pewien inżynier skonstruował mechanizm przełączania, zmieniający stan niektórych żarówek (z „zapalony” na „zgaszony” i na odwrót) w bardzo szczególny sposób. Jeśli przełącznik jest naciśnięty k-ty raz, zmienia się stan wszystkich żarówek o numerach podzielnych przez k.
Na początku wszystkie żarówki są zgaszone. Następnie inżynier rozpoczyna doświadczenie:
Po pierwszym przyciśnięciu przełącznika (tzn. k = 1) wszystkie żarówki zapalają się.
Po drugim przyciśnięciu przełącznika (tzn. k = 2) wszystkie żarówki o numerach parzystych są zgaszone, a o numerach nieparzystych pozostają zapalone.
Po trzecim przyciśnięciu przełącznika (tzn. k = 3) wszystkie żarówki, których numery są nieparzyste i niepodzielne przez 3, są zapalone oraz wszystkie żarówki, których numery są parzyste i podzielne przez 3, są także zapalone. Pozostałe żarówki są zgaszone.
… i tak dalej.
Inżynier przyciska przełącznik 1 000 razy. Które żarówki pozostają zapalone na końcu doświadczenia?
Zaprezentuj przekonujący argument, że twoja odpowiedź jest poprawna.
Pozdrawiam
Żarówki łamigłowka
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Żarówki łamigłowka
Skoro na początku wszystkie były zgaszone, to na końcu będą zapalone te, które mają numer będący liczbą o nieparzyście wielu dzielnikach całkowitych dodatnich, np. \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 4}\) czy \(\displaystyle{ 9}\), bo dla nich stan zmieni się nieparzyście wiele razy. Nic mądrzejszego nie umiem powiedzieć.
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Żarówki łamigłowka
czyli żarówki, których numery są kwadratami liczb naturalnych
dzielniki liczby \(\displaystyle{ n}\) się ładnie parują: \(\displaystyle{ d \leftrightarrow \frac nd}\)
jedyny potencjalny niesparowany dzielnik występuje wtedy, gdy \(\displaystyle{ d=\frac nd}\), czyli gdy \(\displaystyle{ d=\sqrt n}\), czyli a to dzieje się tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest kwadratem
dzielniki liczby \(\displaystyle{ n}\) się ładnie parują: \(\displaystyle{ d \leftrightarrow \frac nd}\)
jedyny potencjalny niesparowany dzielnik występuje wtedy, gdy \(\displaystyle{ d=\frac nd}\), czyli gdy \(\displaystyle{ d=\sqrt n}\), czyli a to dzieje się tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest kwadratem
