Rekurencje - wzór jawny

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
ntnsick
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 29 gru 2016, o 20:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Rekurencje - wzór jawny

Post autor: ntnsick »

Dobry wieczór!
Mam problem z wyznaczeniem wzoru jawnego \(\displaystyle{ a_{n}}\) przy założeniach:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=5 \\ a_{1}=16 \\ a_{n}= 4a_{n-1} - 4a_{n-2}+4^{n}&\text {dla } n>1 \end{cases}}\)
Zacząłem od wyznaczenia rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i wyszło mi:
\(\displaystyle{ a^{o} _{n}}\) = \(\displaystyle{ C_{1}}\) \(\displaystyle{ \times}\) \(\displaystyle{ 2^{n}}\) + \(\displaystyle{ C_{2}}\) \(\displaystyle{ \times}\) \(\displaystyle{ 2^{n}}\) co chyba jest nieprawidłowe.
Następnie wyznaczyłem rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego, z którego wychodzi mi:
\(\displaystyle{ a^{s} _{n}}\) = \(\displaystyle{ 4^{n+1}}\)
Potem chciałem z własności \(\displaystyle{ a_{n}}\)=\(\displaystyle{ a^{o} _{n}}\)+\(\displaystyle{ a^{s} _{n}}\) i warunków początkowych wyliczyć stałe \(\displaystyle{ C_{1}}\) i \(\displaystyle{ C_{2}}\) jednak układ równań wychodzi mi sprzeczny.
Wynik to: \(\displaystyle{ a _{n}}\)=(1-n)\(\displaystyle{ 2^{n}}\) + \(\displaystyle{ 4^{n+1}}\)
Prosiłbym o pomoc w tym zadaniu.
Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Rekurencje - wzór jawny

Post autor: arek1357 »

Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Rekurencje - wzór jawny

Post autor: Mariusz M »

Tak równanie jednorodne jest źle rozwiązane ja podobnie jak arek1357,
uważam że funkcje tworzące są wygodniejsze (tutaj wystarczy zwykła funkcja tworząca)

Tak na marginesie skoro funkcja \(\displaystyle{ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{a_{n}}{n!}x^n}}\) nazywa się wykładniczą funkcją tworzącą to czemu funkcja \(\displaystyle{ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}}\) nie nazywa się geometryczną funkcją tworzącą


Skoro chcesz dziwacznymi metodami to przekształć jednorodne w układ równań
i znajdź wartości i wektory własne a następnie policz \(\displaystyle{ x_{n}=A^{n}x_{0}}\)

Niech
\(\displaystyle{ \left( A-\lambda I\right)^{k}x_{0}=0}\)
\(\displaystyle{ k}\) krotność wartości własnej

\(\displaystyle{ A^{n}x_{0}=\left( \lambda I+\left( A-\lambda I\right) \right)^{n}x_{0}}\)

Wzór Newtona działa gdy mnożenie macierzy jest przemienne
Tutaj akurat mamy taki przypadek
Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego można znaleźć uzmienniając stałe
Liczymy Casoratian , rozwiązujemy układ równań , sumujemy rozwiązanie tego układu
Wstawiamy do postaci rozwiązania które jest w postaci sumy

\(\displaystyle{ a_{s}=\sum_{k=1}^{n}{C_{k}\left( n\right)A_{k}\left( n\right) }}\)

\(\displaystyle{ C_{k}\left( n\right), k=1\ldots n}\) funkcje znalezione podczas uzmienniania stałych
\(\displaystyle{ A_{k}\left( n\right), k=1\ldots n}\) niezależne funkcje będące rozwiązaniem równania jednorodnego
ODPOWIEDZ