Cześc,
Czy jest wstanie ktoś mi wytłumaczyć krok po kroku jak mam to zrobić. Sam już nie daję rady
Podaj wzór jawny na \(\displaystyle{ a_{n}}\) gdy:
\(\displaystyle{ a_{0} = 4 , a_{1} = 1 , a_{n} = - a_{n-1} + 6a_{n-2} - 4n^{2} + 2n , n \ge 2}\)
wzór jawny rekurencja liniowa
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5747
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 526 razy
wzór jawny rekurencja liniowa
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n}x^n=- \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-1}x^n+6 \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-2}x^n-4 \sum_{n=2}^{ \infty }n^2x^n+2 \sum_{n=2}^{ \infty }nx^n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n}x^n=-x \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-1}x^{n-1}+6x^2\sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-2}x^{n-2}-4\left[ x^2\left( \sum_{n=2}^{ \infty }x^n \right)''+x \left( \sum_{n=2}^{ \infty }x^n\right)' \right]+2x\left( \sum_{n=2}^{ \infty }x^n \right)'}\)
\(\displaystyle{ S(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^n}\)
\(\displaystyle{ S(x)-x-4=-x\left(S(x)-4 \right) +6x^2S(x)-4\left[ x^2\left( \frac{x^2}{1-x} \right)''+x\left( \frac{x^2}{1-x} \right)' \right] +2x\left( \frac{x^2}{1-x} \right)'}\)
\(\displaystyle{ S(x)\left[ 1+x-6x^2\right]=4+5x- \frac{8x^2}{(1-x)^3}+2x^2 \frac{x-2}{(1-x)^2}}\)
lub:
\(\displaystyle{ S(x)= \frac{7x^4-17x^3+15x^2+7x-4}{(1-x)^3(6x^2-x-1)}=}\)
\(\displaystyle{ S(x)= -5\frac{1}{1-2x}+ \frac{1}{1+3x}+4 \frac{1}{1-x}+2 \frac{1}{(1-x)^2}+2 \frac{1}{(1-x)^3}=}\)
\(\displaystyle{ =-5 \sum_{n=0}^{ \infty }2^nx^n + \sum_{n=0}^{ \infty }(-3)^nx^n+4\sum_{n=0}^{ \infty } x^n+2\sum_{n=0}^{ \infty } (n+1)x^n+2 \cdot \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{ \infty } (n+1)(n+2)x^n}\)
Sprawdź sobie czy się gdzieś nie pomyliłem bo akurat za to nie ręczę...
\(\displaystyle{ S(x)=\sum_{n=0}^{ \infty } \left[ (-3)^n-5 \cdot 2^n+n^2+5n+8\right]x^n}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=(-3)^n-5 \cdot 2^n+n^2+5n+8}\)
Dla \(\displaystyle{ a_{0}}\) i dla \(\displaystyle{ a_{1}}\)
zgadza się więc chyba i dla innych powinno być ok...
Głową dalej nie ręczę ale palcem już tak.
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n}x^n=-x \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-1}x^{n-1}+6x^2\sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-2}x^{n-2}-4\left[ x^2\left( \sum_{n=2}^{ \infty }x^n \right)''+x \left( \sum_{n=2}^{ \infty }x^n\right)' \right]+2x\left( \sum_{n=2}^{ \infty }x^n \right)'}\)
\(\displaystyle{ S(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^n}\)
\(\displaystyle{ S(x)-x-4=-x\left(S(x)-4 \right) +6x^2S(x)-4\left[ x^2\left( \frac{x^2}{1-x} \right)''+x\left( \frac{x^2}{1-x} \right)' \right] +2x\left( \frac{x^2}{1-x} \right)'}\)
\(\displaystyle{ S(x)\left[ 1+x-6x^2\right]=4+5x- \frac{8x^2}{(1-x)^3}+2x^2 \frac{x-2}{(1-x)^2}}\)
lub:
\(\displaystyle{ S(x)= \frac{7x^4-17x^3+15x^2+7x-4}{(1-x)^3(6x^2-x-1)}=}\)
\(\displaystyle{ S(x)= -5\frac{1}{1-2x}+ \frac{1}{1+3x}+4 \frac{1}{1-x}+2 \frac{1}{(1-x)^2}+2 \frac{1}{(1-x)^3}=}\)
\(\displaystyle{ =-5 \sum_{n=0}^{ \infty }2^nx^n + \sum_{n=0}^{ \infty }(-3)^nx^n+4\sum_{n=0}^{ \infty } x^n+2\sum_{n=0}^{ \infty } (n+1)x^n+2 \cdot \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{ \infty } (n+1)(n+2)x^n}\)
Sprawdź sobie czy się gdzieś nie pomyliłem bo akurat za to nie ręczę...
\(\displaystyle{ S(x)=\sum_{n=0}^{ \infty } \left[ (-3)^n-5 \cdot 2^n+n^2+5n+8\right]x^n}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=(-3)^n-5 \cdot 2^n+n^2+5n+8}\)
Dla \(\displaystyle{ a_{0}}\) i dla \(\displaystyle{ a_{1}}\)
zgadza się więc chyba i dla innych powinno być ok...
Głową dalej nie ręczę ale palcem już tak.