10 ławek, 3 kolory farby, każda farba użyta minimum raz

nicrovishion · Post autor: **nicrovishion** » 28 gru 2016, o 22:20

W parku jest 10 ławek. Każda z nich zostanie pomalowana na jeden z trzech kolorów. Wiedząc, że każdy kolor zostanie wykorzystany co najmniej raz, oblicz, na ile sposobów można pomalować te ławki.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 28 gru 2016, o 23:09

Suriekcje ławek w kolory

nicrovishion · Post autor: **nicrovishion** » 28 gru 2016, o 23:41

W liceum na poziomie rozszerzonym nie ma suriekcji (aczkolwiek chętnie zgłębię temat).
Pokażę podręcznikowe rozwiązanie i to, czego nie rozumiem.
Wszystkie ławki można pomalować na \(\displaystyle{ 3^{10}}\) sposobów.
Odrzucamy 3 sposoby, ponieważ każdy kolor ma być wykorzystany co najmniej raz.
\(\displaystyle{ {3 \choose 2} \cdot (2 ^{10} - 2)}\) to liczba sposobów na które pomalowano by ławki z użyciem tylko dwóch kolorów.
Następnie od wszystkich możliwości odejmujemy dwa wcześniej opisane przypadki i otrzymujemy wynik \(\displaystyle{ 55980}\)

Moje pytanie brzmi skąd wzięła się całe wyrażenie \(\displaystyle{ {3 \choose 2} \cdot (2 ^{10} - 2)}\). Tak jak symbol Newtona intuicyjnie wiem skąd się wziął, i ewentualnie to \(\displaystyle{ 2^{10}}\), to za nic w świecie nie wiem skąd tam ta dwójka.

@edit: oczywiście chodziło o symbol Newtona a nie dwumian.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 29 gru 2016, o 00:05

\(\displaystyle{ {3 \choose 2} \cdot (2 ^{10} - 2)}\) to liczba malowań (istnieje w ogóle takie słowo? )
za pomocą dokładnie dwóch kolorów (tj. że dokładnie dwa kolory zostaną użyte):
na \(\displaystyle{ {3 \choose 2}}\) sposobów wybieramy dwa spośród trzech kolorów, których użyjemy do pomalowania ławek, następnie zaś patrzymy tak:
dla każdej z \(\displaystyle{ 10}\) ławek przy wybranych dwóch kolorach mamy dwie możliwości pomalowania (albo jednym, albo drugim kolorem), więc przy wybranych dwóch kolorach jest \(\displaystyle{ 2^{10}}\) możliwości pomalowania wszystkich (reguła mnożenia, czy coś tam takiego) - odejmujemy od tego dwie możliwości: takie, że wszystkie ławki pomalowano na ten sam kolor (albo wszystkie na jeden, albo wszystkie na ten drugi).

Czyli odpowiedź to \(\displaystyle{ 3^{10}-{3 \choose 2}(2^{10}-2)-3=55980}\)

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 29 gru 2016, o 00:29

W liceum na poziomie rozszerzonym nie ma suriekcji (aczkolwiek chętnie zgłębię temat).

Niech minister od oświaty i kultury wstawi suriekcje w program.