Równanie rekurencyjne - funkcje tworzące

[PatrykTraveler]

Witam, mam taki ciąg rekurencyjny, do którego mam znaleźć funkcjię tworzącą.

\(\displaystyle{ a _{n}=7a _{n-1}-10a _{n-2} - 2 \cdot 3 ^{n-2} , \ a _{0}= 0\ , \ a _{1}=-5}\)

Wiem, że to powinno wyglądać mniej więcej tak, jednak nie wiem jak się pozbyć tej jedynki w pierwszej sumie.

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}a _{n}x ^{n}=-5x+7x \sum_{n=1}^{\infty}a _{n}x ^{n}-10x ^{2} \sum_{n=0}^{\infty}a _{n}x ^{n}-2x ^{2} \sum_{n=0}^{\infty}3^{n}x ^{n}}\)

[arek1357]

źle sumujesz

[PatrykTraveler]

Gdzie popełniam błąd? Nie za bardzo jestem obeznany w tym temacie.

[arek1357]

sumuj od \(\displaystyle{ n=2}\)

[PatrykTraveler]

Sumuję od 2, tylko, że wyciągnąłem x przed sumę. Pewnie coś źle zrozumiałem, mógłbyś mi bardziej rozjaśnić?

[Premislav]

\(\displaystyle{ a _{n}=7a _{n-1}-10a _{n-2} - 2 \cdot 3 ^{n-2}\\ \sum_{n=2}^{ \infty }a_nx^n=7 \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-1}x^n-10 \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-2}x^n-2 \cdot \sum_{n=2}^{ \infty }3^{n-2}x^n\\ \sum_{n=2}^{ \infty }a_nx^n=7x \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-1}x^{n-1}-10x^2 \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-2}x^{n-2}-2x^2 \sum_{n=2}^{ \infty }(3x)^{n-2}\\ \sum_{n=2}^{ \infty }a_nx^n=7x \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^{n}-10x^2 \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}-2x^2 \sum_{n=0}^{ \infty }(3x)^{n}}\)
Oznaczając teraz \(\displaystyle{ G(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }a_n x^n}\) i korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego (do tej ostatniej sumki), mamy
\(\displaystyle{ G(x)-a_1x-a_0=7x\left( G(x)-a_0\right)-10x^2G(x)- \frac{2x^2}{1-3x}}\)

Wreszcie wstawiając \(\displaystyle{ a_0}\) i \(\displaystyle{ a_1}\), otrzymujemy
\(\displaystyle{ G(x)+5x=7xG(x)-10x^2G(x)- \frac{2x^2}{1-3x}}\)

i z tego wyznacz \(\displaystyle{ G(x)}\).

Pozdrawiam.

[arek1357]

Piękna robota

[PatrykTraveler]

Dziękuję za pomoc.