Ile jest liczb ośmiocyfrowych

marcel0906 · Post autor: **marcel0906** » 16 gru 2016, o 18:10

Witam!
Mam problem z takim oto zadaniem.
Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych o różnych cyfrach należących do zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,...,8 \}}\) i spełniających warunki:
1) cyfry parzyste występują w porządku rosnącym
2) każda cyfra nieparzysta poprzedza (niekoniecznie bezpośrednio) cyfrę od niej o jeden większą np.\(\displaystyle{ 15\underline{2}73\underline{468}}\)

kerajs · Post autor: **kerajs** » 16 gru 2016, o 21:47

Wszystkich takich liczb ośmiocyfrowych jest \(\displaystyle{ 8!}\)
a) \(\displaystyle{ \frac{8!}{4!}}\)
bo dla jednego położenia liczb nieparzystych tylko jedna z permutacji liczb parzystych jest rosnąca.
b) \(\displaystyle{ \frac{8!}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}}\)
bo dla jednego położenia pary \(\displaystyle{ 12}\) (jak i par \(\displaystyle{ 34,56,78}\)) tylko jedno z dwóch ustawień (\(\displaystyle{ 12,21}\)) spełnia ustaloną kolejność.

marcel0906 · Post autor: **marcel0906** » 17 gru 2016, o 22:58

Nie napisałem tego wystarczająco wyraźnie, ale chodziło mi o ilość liczb spełniających obydwa warunki. W tym właśnie leży trudność. Oddzielnie warunki nie stanowią problemu. Zapomniałem dodać że rozwiązanie tego zadania to \(\displaystyle{ 3 \cdot 5 \cdot 7=105}\)

kerajs · Post autor: **kerajs** » 18 gru 2016, o 09:00

marcel0906 pisze: Oddzielnie warunki nie stanowią problemu

Znając te bezproblemowe rozwiązania jeszcze łatwiej jest wskazać ich koniunkcję:
a)
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{8!}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} }{4!}}\)
bo dla każdego rozmieszczenia czterech par \(\displaystyle{ (12,34,56,78)}\) tylko jedna z permutacji między nimi zawiera rosnący ciąg parzystych
b)
Te zdarzenia zachodzą niezależnie więc:
\(\displaystyle{ 8! \cdot \frac{1}{4!} \cdot \frac{1}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!}}\)