Symbol Newtona - wyznacz wpółczynnik przy rozwinięciu

[Scrub]

Mam takie zadanie: Wyznacz współczynnik \(\displaystyle{ x^{5}}\) przy rozwinięciu \(\displaystyle{ \left( x- \frac{1}{x} \right) ^{13}}\)
Wiem, że powinno być chyba \(\displaystyle{ 715}\) i że trzeba użyć symbolu Newtona. Chciałbym, aby ktoś mi wytłumaczył bez owijania w bawełnę jak to liczyć.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \left( x- \frac{1}{x} \right) ^{13}= \sum_{k=0}^{13} {13 \choose k}x^k\cdot\frac{\left( -1\right)^{13-k} }{x^{13-k}}=\sum_{k=0}^{13} {13 \choose k}\left( -1\right)^{13-k}x^{2k-13}}\)

JK

edit: Dodałem zapomnianego minusa.

[Scrub]

Ok, trochę bawełny by się przydało, bo nie wiem co z tego wynika.

[Premislav]

Jaką liczbę musisz podstawić w tym rozwinięciu za \(\displaystyle{ k}\), żeby otrzymać w \(\displaystyle{ x^{2k-13}}\) wykładnik \(\displaystyle{ 5}\)?-- 1 gru 2016, o 20:50 --Czyli szukany współczynnik jest równy \(\displaystyle{ {13 \choose k}}\), gdzie k jest takie, aby \(\displaystyle{ 2k-13=5}\)

[Scrub]

Chyba zaczynam rozumieć. Czyli dla \(\displaystyle{ \left( \sqrt{x} + \frac{1}{x} \right) ^{15}}\) i współczynnika przy \(\displaystyle{ x ^{6}}\)
\(\displaystyle{ k}\) będzie wynosiło \(\displaystyle{ 3}\)?

[Premislav]

Nie. Jak to policzyłeś?

[Jan Kraszewski]

Czyli szukany współczynnik jest równy \(\displaystyle{ {13 \choose k}}\), gdzie k jest takie, aby \(\displaystyle{ 2k-13=5}\)

Dokładniej: \(\displaystyle{ \left( -1\right)^{13-k}{13 \choose k}}\), bo zapomniałem w tej formule o minusach.

JK

[Premislav]

A ja w ogóle widziałem plusa zamiast minusa, no brawo...

[Scrub]

Jak wpisywałem do zauważyłem błąd, teraz może jest dobrze. Matematyka ostatnio mocno przedawkowana.

\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{15} {15 \choose k} \left( x ^{ \frac{1}{2} } \right) ^{k} \left( \frac{1}{x} \right) ^{15-k}}\)

i dalej z tego mam
\(\displaystyle{ x ^{ \frac{k}{2} } x ^{k-15}}\)

ostatecznie doprowadzam do \(\displaystyle{ x ^{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ n = \frac{ 3k-30 }{2}}\)
i teraz \(\displaystyle{ \frac{3k-30}{2} = 6}\)
\(\displaystyle{ k = 11}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ \frac{3k-30}{2} = 6}\)

To jest dobrze, ale dalej popełniłeś błąd rachunkowy. Podejście OK.

[Scrub]

Zauważyłem dwa różne wzory na to zadanie i mają różne działanie.
\(\displaystyle{ a^{n-k} b^{k}}\)
lub
\(\displaystyle{ a^{k} b^{n-k}}\)

Kiedy stosować który wzór?