Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumę.

[Artut97]

Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumę:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose k}}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose k}= \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n} 2{2n+1\choose k}= \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n} \left( {2n+1\choose k}+{2n+1\choose 2n+1-k} \right)=\\=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{2n+1} {2n+1\choose k} = \frac{1}{2} (1+1) ^{2n+1}=2^{2n}}\)

[Artut97]

Niestety nie rozumiem przejścia pomiędzy trzecim a czwartym etapem rozumowania. :/

[kerajs]

Pokażę tylko problematyczny fragment
\(\displaystyle{ \blue \sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose 2n+1-k} \black =\left[ t=2n+1-k\right]= \sum_{t=2n+1}^{2n+1-n} {2n+1\choose t}= \sum_{t=2n+1}^{n+1} {2n+1\choose t}=\\= \sum_{t=n+1}^{2n+1} {2n+1\choose t}=\left[ t=k\right]=\magenta\sum_{k=n+1}^{2n+1} {2n+1\choose k}}\)

Dlatego
\(\displaystyle{ ...= \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n} \left( {2n+1\choose k}+{2n+1\choose 2n+1-k} \right)=
\frac{1}{2} \left( \sum_{k=0}^{n} \ {2n+1\choose k}+\blue \sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose 2n+1-k} \black \right) =}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}\left( \sum_{k=0}^{n} {2n+1\choose k}+\magenta \sum_{k=n+1}^{2n+1} {2n+1\choose k}\black \right)=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{2n+1} {2n+1\choose k} =...}\)

Można było pominąć te przekształcenia jeżeli zauważyło się, iż suma składa się dokładnie z połowy współczynników rozwinięcia \(\displaystyle{ (a+b)^{2n+1}}\), a druga ich połowa jest symetryczna i ma taka samą sumę.