Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych

kaetae · Post autor: **kaetae** » 20 lis 2016, o 21:48

Mam następującą zależność rekurencyjną:
\(\displaystyle{ b_{n+1} = |sqrt{b^2_n + 3}| , b_0 = 8}\)

Jakaś podpowiedź jak ją rozwiązać? Metodą: 25578.htm dochodzę do wielomianu \(\displaystyle{ x^3 - x^2}\)?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 20 lis 2016, o 21:50

A po co wartość bezwzględna przy pierwiastku kwadratowym? Nie chodziło Ci czasem o część całkowitą?
Pytam, żeby nie myśleć nad źle sformułowanym zadaniem.

kaetae · Post autor: **kaetae** » 20 lis 2016, o 21:51

To wartość bezwględna. Tak mam w zadaniu napisane

Premislav · Post autor: **Premislav** » 20 lis 2016, o 21:56

No to przecież pierwiastek kwadratowy jest z definicji nieujemny, więc można wywalić tę wartość bezwzględną.
Wprowadzasz pomocniczy ciąg \(\displaystyle{ c_k=b^2_k}\).
Wtedy \(\displaystyle{ c_{k+1}=c_k+3}\), więc ciąg pomocniczy jest arytmetyczny, pierwszy wyraz masz podany jak na tacy, znajdujesz łatwo wzór na\(\displaystyle{ c_n}\), pierwiastkujesz i masz wzór na \(\displaystyle{ b_n}\)(oczywiście \(\displaystyle{ b_n}\) ma nieujemne wyrazy, a nawet ściśle dodatnie).

kaetae · Post autor: **kaetae** » 20 lis 2016, o 22:13

\(\displaystyle{ c_n = 8 + \sum_{i=1}^{n} 3 \cdot i}\)

Co daje nam ostatecznie

\(\displaystyle{ b_n = \sqrt{ 8 + \sum_{i=1}^{n} 3 \cdot i }}\)?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 20 lis 2016, o 22:20

Sorry, \(\displaystyle{ c_0=b_0^2=64}\). Liczyłem na to, że sama się zorientujesz. Poza tym OK, tylko tę sumę można zwinąć.

kaetae · Post autor: **kaetae** » 20 lis 2016, o 22:22

\(\displaystyle{ 3^n}\) Dzięki!