Wielomianowe funkcje generujące

[xProFear]

Witam

Muszę rozłożyć te trzy funkcje na iloczyny z potęgami.

1. \(\displaystyle{ \left[ x_{1} ^{2} x_{2}^{2} x_{3}^{2} \right] \left( x_{1}+x_{2}+x_{3}\right) ^{6}}\)
2. \(\displaystyle{ \left[ x_{1}^{1} x_{2}^{2} x_{3}^{3} \right] \left( 2x_{1}+(-3)x_{2}+x_{3}\right) ^{6}}\)
3. \(\displaystyle{ \left[ x_{1}^{1} x_{2} ^{2} x_{3} ^{3} \right] \left( x_{1}+x_{2} ^{2}+x_{3} \right) ^{6}}\)

Prosiłbym o jakąś pomoc, kompletnie nie wiem jak się za to zabrać.

[Mruczek]

Nie rozumiem treści - czy chodzi po prostu o to aby podać współczynnik przy wskazanych iloczynach po wymnożeniu nawiasów?

Jeżeli tak, to można skorzystać ze współczynników multimianowych:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial_theorem

[xProFear]

Poprawione.

Tak, dokładnie o to chodzi co wysłałeś w linku.

[Mruczek]

Wystarczy podstawić do wzoru.
Czy w takim razie jest jeszcze z czymś problem?

W trzecim przykładzie można zaniedbać \(\displaystyle{ x^{2}}\) i zaminić je na \(\displaystyle{ x}\), tzn zamiast szukać \(\displaystyle{ \left[ x_{1}^{1} x_{2} ^{2} x_{3} ^{3} \right] \left( x_{1}+x_{2} ^{2}+x_{3} \right) ^{6}}\) można szukać \(\displaystyle{ \left[ x_{1}^{1} x_{2} x_{3} ^{3} \right] \left( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right) ^{6}}\).

[xProFear]

Nie wiem za bardzo jak z tego skorzystać, mógłbyś mi jeden przykład pokazać jak zacząć?

[Mruczek]

Hmm widzę, że ten trzeci przykład po tej zamianie jest błędny bo wykładniki się nie sumują do \(\displaystyle{ 6}\) - musiałeś coś źle przepisać.

No to np. pierwszy \(\displaystyle{ \left[ x_{1} ^{2} x_{2}^{2} x_{3}^{2} \right] \left( x_{1}+x_{2}+x_{3}\right) ^{6}}\) to będzie: \(\displaystyle{ \binom {6} {2,2,2}= \frac{6!}{2!2!2!} =...}\)
W drugim przykładzie trzeba będzie pomnożyć ten współczynnik przez współczynniki, które są przy zmiennych wewnątrz nawiasu w odpowiednich potęgach.

[xProFear]

Ok, to podałeś mi jak wyliczyć to? A w jaki sposób właśnie wyliczyć te współczynniki w potęgach, które będą po wymnożeniu, odpowiednio przy \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\) itd.

[Mruczek]

Pierwszy przykład już zrobiłem całkowicie.
W drugim jest \(\displaystyle{ \left[ x_{1}^{1} x_{2}^{2} x_{3}^{3} \right]}\), a w nawiasie wszystkie zmienne występują w potęgach \(\displaystyle{ 1}\), więc to oznacza że przemnożono ze sobą jeden nawias z którego wzięto do iloczynu \(\displaystyle{ 2x_{1}}\), dwa nawiasy z których wzięto \(\displaystyle{ -3x_{2}}\) i trzy nawiasy, z których wzięto \(\displaystyle{ x_{3}}\). No to chyba wiadomo w jakich będą potęgach te współczynniki.

[xProFear]

Chyba źle się zrozumieliśmy, wyliczyć też muszę, ale jeszcze muszę to rozpisać tak jak to jest np. w \(\displaystyle{ \left( a+b\right) ^{2}= a^{2}+2ab+ b^{2}}\) tylko, że tu jest do 6 potęgi i tutaj nie wiem za bardzo jak zrobić.

[Mruczek]

Skoro jednak masz poznać wszystkie współczynniki to szybciej chyba będzie jak po prostu na pałę przemnożyć przez siebie te \(\displaystyle{ 6}\) nawiasów (np. najpierw pierwsze trzy i potem te same trzy albo jakoś inaczej).
No można wyliczyć te wszystkie współczynniki przy pomocy wyżej pokazanej metody - ja wyliczyłem tylko jeden współczynnik, ten podany w nawiasie. Resztę trzeba liczyć analogicznie - trzeba rozpatrzyć tyle przypadków ile rozwiązań równania \(\displaystyle{ a + b + c = 6}\) w liczbach całkowitych nieujemnych (gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) to potęgi zmiennych \(\displaystyle{ x _{1},x _{2},x _{3}}\)). Dużo liczenia.
Żeby sprawdzić wynik możesz wrzucić cały wielomian np. w kalkulator Wolfram Alpha.

[xProFear]

Może jakoś się uda, w każdym razie dzięki za pomoc.