Mnożenie permutacji w zapisie cyklicznym i potęgowanie

[4neta]

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania.

Przedstaw poniższy iloczyn permutacji, po skróceniu wyrażenia, jako iloczyn transpozycji:
\(\displaystyle{ \left( \left( 123\right)\left( 4567\right)\left( 132\right)\left( 43\right) \left( 135\right) \right) ^{4}}\)

Wiem jak rozłożyć permutację na iloczyn transpozycji (w zapisie cyklicznym), potrafię mnożyć permutacje w postaci "tabliczki", ale czy mógłby ktoś przypomnieć metodę mnożenia permutacji zapisanych w postaci cyklów? Bardzo mi się ona myli. Tak samo z podnoszeniem do potęgi \(\displaystyle{ n}\), dzieliło się ją przez ilość transpozycji i zastępowało resztą z dzielenia? I w jaki sposób powinnam to skrócić?

Z góry dziękuję

[Mruczek]

\(\displaystyle{ \left( \left( 123\right)\left( 4567\right)\left( 132\right)\left( 43\right) \left( 135\right) \right) ^{4}= \left( 123\right) ^{4} \left( 4567\right) ^{4} \left( 132\right) ^{4} \left( 43\right) ^{4} \left( 135\right) ^{4}= \left( 123\right) \left( 132\right)\left( 135\right)=\left( 13\right) \left( 12\right)\left( 12\right) \left( 13\right) \left( 15\right) \left( 13\right) =\left( 15\right) \left( 13\right)}\)

[4neta]

W jaki sposób przeszedłeś z \(\displaystyle{ \left( 123\right) ^{4} \left( 4567\right) ^{4} \left( 132\right) ^{4} \left( 43\right) ^{4} \left( 135\right) ^{4}}\) na \(\displaystyle{ \left( 123\right) \left( 132\right)\left( 135\right)}\)?

[Mruczek]

Jeżeli \(\displaystyle{ x}\) jest długością cyklu, to po złożeniu cyklu \(\displaystyle{ x - 1}\) razy ze sobą dostajemy identyczność (no bo bierzemy dowolny element cyklu i po wykonaniu \(\displaystyle{ x}\) złożeń przechodzi on na siebie).
Np. \(\displaystyle{ \left( 123\right) ^{4}=\left( 123\right) ^{3 \cdot 1 + 1}=\left( 123\right) ^{1}=\left( 123\right)}\)

[4neta]

Rozumiem, dziękuję.
A dlaczego transpozycja \(\displaystyle{ \left( 43\right) ^{4}}\) i cykl \(\displaystyle{ \left( 4567\right) ^{4}}\) zniknęły?
\(\displaystyle{ \left( 43\right) ^{4} = \left( \left( 43\right) ^{2} \right)^{2} = \left( \left( 4\right) \left( 3\right) \right) ^{2} = \left( 4\right) ^{2}\left( 3\right) ^{2} = \left( 4\right) \left( 3\right)}\)
Pomijamy to?-- 12 lis 2016, o 12:45 --

Jeżeli \(\displaystyle{ x}\) jest długością cyklu, to po złożeniu cyklu \(\displaystyle{ x}\) razy ze sobą dostajemy identyczność (no bo bierzemy dowolny element cyklu i po wykonaniu \(\displaystyle{ x}\) złożeń przechodzi on na siebie).

W takim razie \(\displaystyle{ \left( 4567\right) ^{4} = \left( 4567\right)}\), więc dlaczego zniknął?

[Mruczek]

Zależy jak liczymy. Ja przez złożenie np. czterokrotne rozumiałem właśnie \(\displaystyle{ \left( 4567\right) ^{4}}\). Zmieniłem poprzednie zdanie.

[4neta]

Powoli mi się rozjaśnia. Czyli \(\displaystyle{ \left( 4567\right) ^{4}= \left( 4567\right) ^{0} = 1}\), bo \(\displaystyle{ 4\equiv 0 \pmod{4}}\)?

Hmm... Na obecnym etapie jestem w stanie obliczyć \(\displaystyle{ \left( 43\right) ^{2}}\) na piechotę w taki sposób:

\(\displaystyle{ \left( 43\right) ^{2} = \left( 43\right)\left( 43\right)=
\binom{4\ 3}{3\ 4}\binom{4\ 3}{3\ 4}=
\binom{4}{4}\binom{3}{3}=
\left( 4\right) \left( 3\right)}\)

Gdzie popełniam błąd?

[Mruczek]

Ok, przepraszam zamieszałem:
Jest prawdą, że:
\(\displaystyle{ \left( 43\right) ^{2} =\left( 4\right)\left( 3\right)}\)
ale to co jest po prawej stronie to złożenie dwóch punktów stałych, czyli identyczność.
Tak więc Twoje pytanie "pomijamy to?" nie ma sensu, bo właśnie o to chodzi że skoro jest to identyczność to możemy ją pominąć.

Powoli mi się rozjaśnia. Czyli \(\displaystyle{ \left( 4567\right) ^{4}= \left( 4567\right) ^{0} = 1}\), bo \(\displaystyle{ 4\equiv 0 \pmod{4}}\)?

Tak.

[4neta]

Dziękuję

(Przed)ostatnie pytanie:
Czy cykle typu \(\displaystyle{ \left( 12345\right) ^{4}}\), \(\displaystyle{ \left( 12345\right) ^{3}}\), \(\displaystyle{ \left( 12345\right) ^{2}}\) trzeba podnosić do potęgi za pomocą mnożenia kolejnych permutacji w postaci tabliczki? Co, jeśli będę musiała policzyć \(\displaystyle{ (1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9\ 10\ 11)^{10}}\)?

[Mruczek]

Moim zdaniem możesz sobie narysować ten cykl w postaci grafu skierowanego.
No i np. w przypadku cyklu \(\displaystyle{ \left( 12345\right)}\) krawędzie będą takie:
1 -> 2, 2 -> 3, 3 -> 4, 4 -> 5, 5 -> 1
Strzałki wskazują jak liczby będą kolejno po sobie następowały.
Wydaje mi się, że jak składasz ze sobą ten sam cykl do potęgi \(\displaystyle{ k}\)-tej to musisz dla każdej pozycji permutacji identycznościowej przejść się \(\displaystyle{ k}\) razy po tym cyklu do przodu, tzn
np. dla powyższego cyklu przy \(\displaystyle{ k = 2}\) będzie tak:
1 -> 2 -> 3, czyli 1 przejdzie na 3
2 -> 3 -> 4, czyli 2 przejdzie na 4 itd.
Tak więc \(\displaystyle{ \left( 12345\right) ^{2}= \binom{1\ 2\ 3\ 4\ 5}{3\ 4\ 5\ 1\ 2}}\).

[4neta]

Wielkie dzięki! Wcześniej tego nie zauważyłam.

Przypomniałbyś jeszcze metodę składania permutacji w postaci cyklicznej? Wyleciała mi z głowy. Pamiętam, że szukało się \(\displaystyle{ 1}\) i brało się liczbę, która po niej następowała, potem od prawej (ale nie wiem czy od końca, czy od wybranej liczby) szukało się tej liczby występującej po raz drugi i gdy się nie znalazło, wpisywało się do wyniku najpierw \(\displaystyle{ 1}\), a potem tę liczbę. Potem znajdowało się \(\displaystyle{ 2}\) i postępowało się analogicznie. Ale co, jeśli przy pierwszej operacji znowu znajdę \(\displaystyle{ 1}\)? Wtedy nie wpisuję tej liczby, którą wzięliśmy i która następowała po \(\displaystyle{ 1}\), tylko zostawiam \(\displaystyle{ (1)}\) w wyniku (a potem pomijam), otwieram nawias i szukam dalej, dla \(\displaystyle{ 2}\)?

[4neta]

Dopiero po kolokwium dowiedziałam się, że nie wolno rozdzielać iloczynu transpozycji, gdy ten jest podniesiony do potęgi. Szkoda, że wprowadziłeś mnie w błąd, bo poleciało mi parę cennych punktów... Następnym razem skonsultuję się nie tylko na forum.

[Mruczek]

Czy możesz wyjaśnić dokładniej, o które posty Ci chodzi?
Nie wiem dokładnie o jakie miejsce Ci chodzi.

Jeżeli się pomyliłem, to na pewno nie było to celowe.