Dowód - wskazówka

[tomek1172]

Udowodnij:

\(\displaystyle{ \binom{\binom{n}{2}}{2}=3\binom{n+1}{4}}\)



Pod powyższym linkiem znajduje się dowód z pewnej książki. Jednak mam problem ze zrozumieniem jak powstaje ułożenie kart przy ostatniej opcji, gdy znajdujemy 3 zwykłe karty i jednego jokera. Mamy takie coś:
\(\displaystyle{ (ab\ vs.\ ac,ab\ vs.\ bc,ac\ vs. bc)}\)

Dlaczego w każdym zestawieniu powtórzona jest jedna karta(najpierw a, potem b i na końcu c)? Jest to związane z tym, że za jokera przyjmujemy dowolną z tych kart, które wylosowałem, ale nie mogę uzyskać zestawienia, że w parze będą takie same karty?

[kerajs]

1)
\(\displaystyle{ L=\binom{\binom{n}{2}}{2}= { \frac{n(n-1)}{2} \choose 2}= \frac{(\frac{n(n-1)}{2} )(\frac{n(n-1)}{2} -1)}{2}= \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{8}=\\= 3 \cdot \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}=3\binom{n+1}{4}=P}\)

[tomek1172]

Wiem, że można zrobić to algebraicznie, ale myślę, że ciekawsze są dowody kombinatoryczne niż same rachunki Dlatego będę wdzięczny jak ktoś będzie w stanie powiedzieć mi jak mam rozumieć zestawienie, o którym pisałem.

[Mruczek]

Dowód kombinatoryczny:
Mamy \(\displaystyle{ n}\) kart.
W \(\displaystyle{ \binom{\binom{n}{2}}{2}}\) wybieramy dwie pary spośród \(\displaystyle{ \binom{n}{2}}\) wszystkich par \(\displaystyle{ n}\) kart.
Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ 3\binom{n+1}{4}}\) także jest równe liczbie sposobów wyboru dwóch par spośród wszystkich par kart. Są możliwe dwie sytuacje:
a) te dwie pary są rozłączne
b) te dwie pary mają dokładnie jedną kartę taką samą (wspólną).
Wyobrażamy sobie, że dokładamy jedną dodatkową kartę do zbioru, która będzie pomagała nam rozróżniać te dwie sytuacje.
W \(\displaystyle{ \binom{n+1}{4}}\) wybieramy \(\displaystyle{ 4}\) karty. Jeżeli wśród nich nie ma dodatkowej karty to zakładamy że mamy sytuację a) - dzielimy tą czwórkę \(\displaystyle{ \left\{ a,b,c,d\right\}}\) na dwie rozłączne pary. Możemy to zrobić na \(\displaystyle{ 3}\) sposoby:
\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ a,b\right\},\left\{c, d \right\} \right\}}\) lub
\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ a,c\right\},\left\{b, d \right\} \right\}}\) lub
\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ a,d\right\},\left\{b, c \right\} \right\}}\),
dlatego mnożymy symbol Newtona przez \(\displaystyle{ 3}\).
Jeżeli wśród nich jest dodatkowa karta to zakładamy, że mamy sytuację b). Wtedy wybraliśmy trzy karty spośród tych \(\displaystyle{ n}\) i jedną dodatkową. Te trzy karty składają się na dwie pary. No ale każda z tych trzech kart może się powtarzać wśród tych par (może być ich częścią wspólną), więc i tutaj wynik musimy pomnożyć przez \(\displaystyle{ 3}\) (bo mamy \(\displaystyle{ 3}\) sposoby wyboru tej powtarzającej się karty).

[tomek1172]

"Te trzy karty składają się na dwie pary."

Skąd to się bierze? Przecież mając 3 karty możemy utworzyć \(\displaystyle{ \binom 32=3}\) pary