Niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) będą dowolnymi liczbami naturalnymi takimi, że \(\displaystyle{ a +
b > 0}\). Pokaż, że liczby \(\displaystyle{ \frac{a}{NWD(a,b)}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{b}{NWD(a,b)}}\) są względnie pierwsze.
Jakieś pomysły?
Liczby względnie pierwsze
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Liczby względnie pierwsze
To, że liczby \(\displaystyle{ c,d}\) są względnie pierwsze, oznacza, że \(\displaystyle{ \NWD(c,d)=1}\).
Mamy \(\displaystyle{ a=c \cdot NWD(a,b)}\) oraz \(\displaystyle{ b=d \cdot \NWD(a,b)}\) dla pewnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ c,d}\) (bo oczywiście \(\displaystyle{ \NWD}\) musi dzielić obydwie liczby). Liczby \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\) są względnie pierwsze:
gdyby nie były, to istniałoby pewne \(\displaystyle{ k\in \NN, k>1}\), że
\(\displaystyle{ k|c\wedge k|d}\), ale wówczas liczba \(\displaystyle{ k\cdot NWD(a,b)}\) byłaby wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), większym od \(\displaystyle{ \NWD(a,b)}\) - sprzeczność.
Mamy \(\displaystyle{ a=c \cdot NWD(a,b)}\) oraz \(\displaystyle{ b=d \cdot \NWD(a,b)}\) dla pewnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ c,d}\) (bo oczywiście \(\displaystyle{ \NWD}\) musi dzielić obydwie liczby). Liczby \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\) są względnie pierwsze:
gdyby nie były, to istniałoby pewne \(\displaystyle{ k\in \NN, k>1}\), że
\(\displaystyle{ k|c\wedge k|d}\), ale wówczas liczba \(\displaystyle{ k\cdot NWD(a,b)}\) byłaby wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), większym od \(\displaystyle{ \NWD(a,b)}\) - sprzeczność.