Kombinacje i kolejność

[Larsonik]

Witam, mam pytanie (zapewne wynikające z braku zrozumienia pojęć lub braku pomyślunku).

Mamy podzielić 15 osób na 3 grupy po 5 osób. Wyliczyć, ile jest możliwości dokonania takiego podziału, jeśli kolejność grup ma znaczenie, a ile jest, kiedy kolejność ta znaczenia nie ma. Od razu pomyslałem o kombinacjach, ale ta kolejność sprawiła mi problem. Ja pierwszy przypadek zrobiłbym tak:

\(\displaystyle{ {15 \choose 5} {10 \choose 5} 3!}\)

Natomiast nauczyciel wskazał jako poprawny iloczyn kombinacji bez silni. Nie potrafię zrozumieć, w jaki sposób w tych kombinacjach zawierają się możliwości wynikające z kolejności grup.

[AloneAngel]

Weźmy przypadek gdy kolejność grup ma znaczenie.
Ponumerujmy je \(\displaystyle{ 1, 2, 3}\). Do pierwszej grupy masz wybrać \(\displaystyle{ 5}\) osób, a więc możesz to zrobić na \(\displaystyle{ {15 \choose 5}}\) sposobów. Do drugiej grupy na \(\displaystyle{ {10 \choose 5}}\), a do trzeciej grupy na \(\displaystyle{ {5 \choose 5} = 1}\) sposobów. Teraz z zasady mnożenia przemnażamy te wyniki. Korzystaliśmy tutaj z tego, że te grupy ponumerowaliśmy - czyli ważna jest kolejność w jakiej te grupy ustawiliśmy.

Co w przypadku gdy nie uwzględniamy kolejności. Możemy wziąć nasz wynik z poprzedniego podpunktu. No ale w poprzednim podpunkcie gdyby zamienić miejscami grupy \(\displaystyle{ 1, 2}\) to traktowaliśmy to jako inne ustawienie, a teraz to będzie to samo. A więc zamiana każdej grupy z każdą nie zmienia nam wyniku. Takich zamian możemy dokonać na \(\displaystyle{ 3! = 6}\) sposobów. A więc nasz wynik z pierwszego podpunktu musimy podzielić przez 6, żeby wykluczyć policzenie ustawień różniących się jedynie kolejnością.

[Larsonik]

Przy całej mojej szczerej chęci pojęcia tego - nie mogę zrozumieć, w jaki sposób korzystaliśmy z tego ponumerowania grup. Może pokażę, jak ja rozumuję i wtedy będzie łatwiej wskazać błąd. Ze zbioru 15 osób tworzymy trzy zbiory 5-elementowe (to są te kombinacje), a następnie je numerujemy (tego możliwości jest \(\displaystyle{ 3!}\)).

[Kartezjusz]

Te osoby z pierwszego wyboru nie mogą siąść przy innym stoliku.

[Larsonik]

Po przerobieniu pewnej ilości zadań chyba zaskoczyło. Kolejnosc wynika z tego, że najpierw wybieramy z 15, później z 10. Dzięki za wyjasnienie.