Alternatywa dla dowodu indukcyjnego

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
Chewbacca97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 464
Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 120 razy

Alternatywa dla dowodu indukcyjnego

Post autor: Chewbacca97 »

W zadaniu należy udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \left( -1\right)^{k} {n \choose k} = 0}\)
Z dowodem indukcyjnym sobie poradziłem, ale chciałbym to jeszcze zrobić w inny sposób.

Czy można to tak zapisać?

\(\displaystyle{ 0 = \left( 1-1\right)^{n} = {n \choose 0} - {n \choose 1} + {n \choose 2} - ... {\red \pm} {n \choose n} = \sum_{k=0}^{n} \left( -1\right)^{k} {n \choose k}}\)

Jaki znak powinien stać przy ostatnim wyrazie rozwinięcia dwumianu? W zależności od parzystości \(\displaystyle{ n}\) jest on różny, prawda?
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Alternatywa dla dowodu indukcyjnego

Post autor: Zahion »

Tak, jeżeli nie masz pewności to zawsze możesz sprawdzić na pojedyńczych przypadkach, co najlepsze już Twoje pierwsze trzy wyrazy rozwiązują ten problem. Dopełniając powinien wynosić \(\displaystyle{ \left( -1\right)^{n}}\)
Mruczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1114
Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 157 razy

Alternatywa dla dowodu indukcyjnego

Post autor: Mruczek »

Można to rozwiązać także za pomocą interpretacji kombinatorycznej. Dowód masz tutaj w zbiorze w dziale 1.2.8, rozwiązania są na końcu:
ODPOWIEDZ