W zadaniu należy udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \left( -1\right)^{k} {n \choose k} = 0}\)
Z dowodem indukcyjnym sobie poradziłem, ale chciałbym to jeszcze zrobić w inny sposób.
Czy można to tak zapisać?
\(\displaystyle{ 0 = \left( 1-1\right)^{n} = {n \choose 0} - {n \choose 1} + {n \choose 2} - ... {\red \pm} {n \choose n} = \sum_{k=0}^{n} \left( -1\right)^{k} {n \choose k}}\)
Jaki znak powinien stać przy ostatnim wyrazie rozwinięcia dwumianu? W zależności od parzystości \(\displaystyle{ n}\) jest on różny, prawda?
Alternatywa dla dowodu indukcyjnego
- Chewbacca97
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 120 razy
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Alternatywa dla dowodu indukcyjnego
Tak, jeżeli nie masz pewności to zawsze możesz sprawdzić na pojedyńczych przypadkach, co najlepsze już Twoje pierwsze trzy wyrazy rozwiązują ten problem. Dopełniając powinien wynosić \(\displaystyle{ \left( -1\right)^{n}}\)