Ilość sposobów ułożenia ksiażek

[kowalski93]

Witam, mam taki problem nie wiem jak to ugryźć.

Mam zadanie:
Załóżmy, że mamy dziesięć książek, wśród nich pięć powieści, trzy matematyczne, dwie historyczne. Uznając za równoważne książki danego typu, na ile sposobów można ułożyć dziesięć książek w jednym rzędzie?

Niestety nie mam odpowiedzi ale próbowałem zrobić coś takiego:
Mamy książki powieści - p, matematyczne - m oraz historyczne - h.
Na półce możemy je pogrupować tak:
p m h
p h m
m p h
m h p
h p m
h m p

Czyli \(\displaystyle{ 6}\) sposobów, więc \(\displaystyle{ 6 \cdot 5! \cdot 3! \cdot 2! = 8640}\), pewnie gdzieś popełniam błąd, prawda? Mógłby ktoś rozjaśnić tą sytuację? Z góry dziękuję.

[kerajs]

Ty rozwiązałeś zadanie w którym zarówno wszystkie powieści, jak i trzy pozycje matematyczne oraz dwie książki historyczne stoją obok siebie. (Ponadto, wszystkie książki rozróżniasz co reprezentują silnie w twoim wzorze).
Ale przecież można je wymieszać. Wtedy szukana ilość ułożeń to:
\(\displaystyle{ \frac{10!}{5!3!2!}=7 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 10}\)

[kowalski93]

Dlaczego tak? Nie rozumiem jak to zrobiłeś. Mógłbyś wytłumaczyć?

[Mruczek]

To są permutacje z powtórzeniami, w których permutujemy \(\displaystyle{ 10}\) elementów i mamy \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ 3}\) oraz \(\displaystyle{ 5}\) elementów jednakowych.