Witam, czy ktoś jest w stanie wytłumaczyć o co chodzi w funkcjach tworzących na przykładnie poniższych zadań, bo za nic nie mogę tego pojąć :/
1. Policz funkcje tworzącą następujących ciągów
a)\(\displaystyle{ a _{n}=2 ^{n}}\)
b)\(\displaystyle{ d _{n}= \frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) oraz \(\displaystyle{ c _{0} =0}\)
2.Wyznacz postać zwartą funkcji tworzącej
\(\displaystyle{ a_{n}= \sum_{k=0}^{n}k3 ^{k}}\)
Funkcje Tworzące
-
squared
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Funkcje Tworzące
Funkcja tworząca jest dana wzorem:
\(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^\infty g_n x^n.}\), gdzie \(\displaystyle{ g_n}\) to pewien ciąg. Wystarczy zatem wstawić swój ciąg to wzoru.
\(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^\infty 2^n x^n=\sum_{n=0}^\infty (2x)^n}\).
Pewnie chodzi o zapisanie tego jako postać zwartą. Powyższy szereg jest zbieżny, gdy \(\displaystyle{ |x|<\frac{1}{2}}\).
Wtedy otrzymujemy szereg zbieżny i możemy policzyć jego sumę. Jest to szereg geometryczny, więc chyba z tym poradzisz sobie.
Przykład b:
\(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^\infty d_n x^n=d_0x^{0} + \sum_{n=1}^\infty d_n x^n =
d_0x^{0} + \sum_{n=1}^\infty d_n x^n=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} x^n}\).
I już. Pozostaje pytanie, czy masz to dalej próbować przekształcać czy nie - chyba nie.
Zadanie 2.
Wskazówka policz najpierw sumę \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k3 ^{k}}\) np. metodą zaburzania. Potem mając ją policzoną przejdź do funkcji tworzącej.
\(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^\infty g_n x^n.}\), gdzie \(\displaystyle{ g_n}\) to pewien ciąg. Wystarczy zatem wstawić swój ciąg to wzoru.
\(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^\infty 2^n x^n=\sum_{n=0}^\infty (2x)^n}\).
Pewnie chodzi o zapisanie tego jako postać zwartą. Powyższy szereg jest zbieżny, gdy \(\displaystyle{ |x|<\frac{1}{2}}\).
Wtedy otrzymujemy szereg zbieżny i możemy policzyć jego sumę. Jest to szereg geometryczny, więc chyba z tym poradzisz sobie.
Przykład b:
\(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^\infty d_n x^n=d_0x^{0} + \sum_{n=1}^\infty d_n x^n =
d_0x^{0} + \sum_{n=1}^\infty d_n x^n=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} x^n}\).
I już. Pozostaje pytanie, czy masz to dalej próbować przekształcać czy nie - chyba nie.
Zadanie 2.
Wskazówka policz najpierw sumę \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k3 ^{k}}\) np. metodą zaburzania. Potem mając ją policzoną przejdź do funkcji tworzącej.
