Hej,
Zastanawiam się nad jednym zagadnieniem i nie potrafię znaleźć wyników w tej sprawie.
Czy badał już ktoś jak zachowuje się funkcja tworząca dla ciągu powstałego z funkcji eulera wyznaczającego liczbe liczb względnie pierwszych z daną mniejszą od niej?
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \phi(n) x^{n}}\)
Funkcja tworzaca tocjentu
-
Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Funkcja tworzaca tocjentu
OEIS twierdzi, że jeszcze nikt, możesz być pierwszy, natomiast podaje wzór
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac {\varphi (n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta (s)}}\)
oraz zależność
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \varphi(n) \cdot \frac{x^n}{1-x^n} = \frac{x}{(1-x)^2}}\).
Udowodnienie którejkolwiek z nich powinno być świetną zabawą w ten deszczowy dzień.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac {\varphi (n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta (s)}}\)
oraz zależność
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \varphi(n) \cdot \frac{x^n}{1-x^n} = \frac{x}{(1-x)^2}}\).
Udowodnienie którejkolwiek z nich powinno być świetną zabawą w ten deszczowy dzień.