6 punktów - Udowodnij, że powstał trójkąt

[matmatmm]

W przestrzeni danych jest \(\displaystyle{ 6}\) punktów, z których żadne cztery nie leżą na jednej płaszczyźnie. Łącząc niektóre z tych punktów narysowano \(\displaystyle{ 10}\) odcinków. Wykaż, że w ten sposób uzyskano co najmniej jeden trójkąt.

Proszę o sprawdzenie, czy fragment mojego rozwiązania jest poprawny.

Ukryta treść:    

Mając \(\displaystyle{ 6}\) punktów można utworzyć w sumie \(\displaystyle{ 20}\) trójkątów, z których każdy ma \(\displaystyle{ 3}\) boki. Stwórzmy tabelę o \(\displaystyle{ 20}\) kolumnach (trójkąty) i \(\displaystyle{ 3}\) wierszach (boki każdego z trójkątów). Dorysowując jeden odcinek, dodajemy bok dla \(\displaystyle{ 4}\) trójkątów, czyli wypełniamy \(\displaystyle{ 4}\) pola w naszej tabeli. Narysowano \(\displaystyle{ 10}\) odcinków, czyli w sumie wypełniono \(\displaystyle{ 40}\) pól w naszej tabeli. Jeśli nie powstał trójkąt, to żadna kolumna nie może być w całości wypełniona, więc w każdej kolumnie wypełnione są dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) pola. Zatem biorąc dowolne \(\displaystyle{ 3}\) punkty z danych sześciu, narysowane są dokładnie dwa odcinki z trzech możliwych łączących te trzy punkty.


Potem bardzo łatwo dojść do sprzeczności rysując te punkty i odcinki.

[Mruczek]

Wygląda na to, że ten fragment jest poprawny.

Jednak zachęcam Cię to rozwiązania korzystającego z teorii grafów (wierzchołki i krawędzie) i zasady szufladkowej Dirichleta (stwierdzić że istnieje wierzchołek o jakimś stopniu).

Takie rozwiązanie znajdziesz tutaj w zad. 3:


Teza tego zadania wynika także z twierdzenia Mantela, które jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Turana.