Wykorzystanie funkcji trygonometrycznych w rekurencji

[Myterro]

Witam Państwa.

Mam rozwiązać następujące równanie: \(\displaystyle{ x_{n+2}=2x _{n+1}-2x _{n}}\). Potrafię doprowadzić je do postaci, w której miejscami zerowymi są liczby zespolone \(\displaystyle{ x_{1}=1-i}\) i \(\displaystyle{ x _{2}=1+i}\), lecz dalej nie wiem co mam zrobić. Prowadzący zajęć powiedział mi, że należy zastosować funkcje trygonometryczne, ale musiałem coś najwyraźniej na zajęciach opuścić, ponieważ nie mam pojęcia w jaki sposób mam to zrobić. Mogę liczyć na pomoc z waszej strony?

[AloneAngel]

Wtedy mamy rozwiązanie \(\displaystyle{ x_n = C_1 (1-i)^n + C_2 (1+i)^n}\).
A wiemy jak się potęguje szybko liczby zespolone?

[Myterro]

I dochodzę do momentu, w którym mam:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}^{n}*\left( C_{1}\left( cosn \frac{7}{4} \pi + isinn \frac{7}{4} \pi \right) + C_{2} \left( cosn \frac{1}{4} \pi + isinn \frac{1}{4} \pi \right) \right)}\)
Jak mam to dalej rozwiązać? Nie mam podanego żadnego n dla którego mam obliczyć, więc de Moivre'a nie mogę tak po prostu zastosować.

[AloneAngel]

Zakładam, że dobrze policzyłeś te potęgi.
Ale co chcesz dalej rozwiązywać? Skoro masz podać wzór ciągu, to w tym wzorze musi występować zmienna \(\displaystyle{ n}\). Dostajesz, że poszukiwany ciąg to \(\displaystyle{ x_n = \sqrt{2}^{n}*\left( C_{1}\left( \cos\frac{7n \pi}{4} + i\sin\frac{7n \pi}{4} \right) + C_{2} \left( \cos \frac{n \pi}{4} + i\sin\frac{n \pi}{4}\right) \right)}\)

Musisz te liczby zespolone podnieść do potęgi \(\displaystyle{ n}\), a ze wzoru de Moivre'a wiemy, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ z^n = |z|^n \cdot \left( \cos(n \phi) + i \sin(n \phi) \right)}\). Nie musisz mieć podanej konkretnej wartości aby korzystać z tego wzoru.