zasada szufladkowa

[Dobrochoczy]

Pokazać, że wśród 15 różnych liczb naturalnych nie przekraczających 100, są 4 liczby
a b c d takie, że \(\displaystyle{ a + b = c + d}\) lub 3 liczby a b c tworzące postęp arytmetyczny

[Slup]

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ a_1}\),...,\(\displaystyle{ a_{15}}\) te liczby w kolejności rosnącej. Piszemy:
\(\displaystyle{ A_{ji}=a_j-a_i}\)
dla \(\displaystyle{ 1\leq i<j\leq 15}\). Mamy:
\(\displaystyle{ 0<A_{ji}<100}\)
Par \(\displaystyle{ (i,j)}\) takich, że \(\displaystyle{ 1\leq i<j\leq 15}\) jest:
\(\displaystyle{ {15\choose 2}= 7\cdot 15=105}\)
Z zasady szufladkowej istnieją \(\displaystyle{ 1\leq i<j\leq 15}\) oraz \(\displaystyle{ 1\leq k<l\leq 15}\) takie, że \(\displaystyle{ (i,j)\neq (k,l)}\) oraz:
\(\displaystyle{ A_{ji}=A_{kl}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ a_j-a_i=a_l-a_k}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ i=l}\) to wtedy:
\(\displaystyle{ a_j-a_i=a_i-a_k}\)
Stąd \(\displaystyle{ a_k,a_i,a_j}\) tworzą ciąg arytmetyczny.
Jeżeli \(\displaystyle{ i\neq l}\), to wtedy:
\(\displaystyle{ a_j+a_k=a_l+a_i}\)

[szw1710]

Można założyć, że te liczby nie przekraczają \(\displaystyle{ 105}\). Wtedy różnice nie przekraczają \(\displaystyle{ 104}\) (zakładam, że \(\displaystyle{ 0\not\in\NN}\)).

Zgodnie z prywatną rozmową z Przedmówcą zamieszczam swój szkic rozumowania. Pisaliśmy w tym samym momencie, a Kolega był pierwszy, więc pierwotnie tego nie umieściłem.

Pewien szkic rozumowania (pod założeniem z pierwszej linii mojego wpisu): pierwszy warunek można wyrazić teraz jako \(\displaystyle{ b-c=d-a}\).

Niech \(\displaystyle{ a_1<\dots<a_{15}}\). Tworzymy różnice \(\displaystyle{ a_i-a_j}\), gdzie \(\displaystyle{ i>j}\) (zawsze są dodatnie). Mamy takich różnic \(\displaystyle{ 105}\), a każda jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 105}\). Skorzystaj z tego. Wyjdą dwa omawiane przypadki.