Jest hipoteza , potrzebny dowód lub choćby uzasadnienie ...

[RobinBuk]

Jeśli sformułowanie poniższego problemu wyda się Państwu infantylne - przepraszam , ale nie jestem matematykiem z zawodu .

Dany jest skończony podzbiór zbioru liczb naturalnych \(\displaystyle{ A=\{1,2,3,...n\}}\) . Dokonujemy eliminacji co drugiego elementu zbioru - czyli w pierwszej iteracji liczb \(\displaystyle{ 2,4,6...}\) tzn liczb parzystych . W kolejnym przebiegu znowu wykreślamy co drugą liczbę (z tych co pozostały) tzn. jeśli zbiór \(\displaystyle{ A}\) był zakończony liczbą parzystą - eliminowane będą \(\displaystyle{ 3,7,11,...}\), jeśli zakończony był nieparzystą liczbą eliminowane będą \(\displaystyle{ 1,5,9,...}\) zawsze zgodnie z zasadą , że po wyeliminowanej liczbie na tym etapie musi pozostać dokładnie jedna liczba . Postępujemy tak do końca - czyli aż zostanie ostatnia liczba.

Powstaje pytanie czy istnieje formuła , zgodnie z którą można znając \(\displaystyle{ n}\) przewidzieć , która liczba pozostanie . Hipoteza o której wspomniałem w tytule , mówi ,że należy przedstawić liczbę \(\displaystyle{ n}\) w postaci binarnej , następnie dokonać przesunięcia najbardziej znaczącego bitu na miejsce najmniej znaczące - a otrzymana wartość da nam numer ostatniej pozostałej liczby . Czyli np. jeśli weźmiemy po uwagę zbiór o \(\displaystyle{ 57}\)-miu elementach - reprezentacja binarna \(\displaystyle{ 57 = 111001_2}\). Przesuwamy jedynkę z początku na koniec \(\displaystyle{ 110011_2=51}\).

Wydaje mi się , że ten problem jest rozstrzygnięty , ale przeszukując internet nie udało mi się znaleźć rozwiązania .

[a4karo]

Jeśli wykreślasz co drugą, to na końcu zawsze zostanie jedynka. Chyba, że inaczej opisałeś proces, a inaczej o nim myślisz (nie widzę przypadku, w którym druga iteracja zaczynała by się od trójki ):

1,2,3,4,5,6,7
1,3,5,7
1,5
1

1,2,3,4,5,6,7,8
1,3,5,7
1,5
1

[RobinBuk]

Druga iteracja może zacząć się od trójki , ze względu na "przeniesienie wolnego ostatniego elementu "z pierwszej iteracji .

Czyli dla 7-miu
1,2,3,4,5,6,7
1,3,5,7
3,7
7

A dla 8-miu tak jak u Ciebie .